Colineación central
En geometría, una colineación definida por un punto central y un hiperplano fijo se denomina colineación central (o también perspectividad).
El centro es un punto del espacio proyectivo que no pertenece al hiperplano, con la propiedad de que cada recta que pasa por este punto es una recta fija de la perspectiva.
Más modernamente, se habla de una proyección central o de una perspectiva axial.
Estas aplicaciones, vinculadas con el teorema de Pascal, generalmente solo pueden generar una perspectiva de todo el espacio si este espacio es papusiano y cumple con el axioma de Fano.
Dicho algebraicamente: si el espacio de mayor dimensión
Hasta la segunda mitad del siglo XIX (implícitamente, porque por entonces se desarrolló la axiomática de los números reales) solo se había estudiado la geometría proyectiva real a lo sumo tridimensional (como geometría de posición).
En consecuencia, la condición de perspectiva y la perspectividad no están claramente diferenciadas en la bibliografía más antigua y, a menudo, se hace referencia a ellas indistintamente.
En geometría sintética, el término perspectiva plana (sobre el plano proyectivo) se define independientemente del término proyectividad: una perspectiva es una colineación (proyectiva) con un centro y una recta fija (como eje).
La definición de la geometría sintética para los planos proyectivos desarguesianos (los planos que también pueden entenderse como espacios proyectivos bidimensionales en el sentido de la geometría analítica) equivale a su definición como proyectividades con centro y eje, lo que permite generalizar el concepto de proyectividad a casos no desarguesianos.
se denomina perspectiva proyectiva si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:[2] Sea
se llama perspectiva proyectiva si se cumple una de las siguientes condiciones:[3] equivalentes:[4] Un plano proyectivo desarguesiano es siempre isomorfo a un espacio proyectivo bidimensional
que está determinado únicamente por el plano hasta el isomorfismo.
Una colineación de dicho espacio ya es verdadera para la doble razón si no cambian las razones inarmónicas para los puntos en una recta proyectiva (véase el artículo colineación).
Dado que una perspectividad es una colineación con una recta de punto fijo, inicialmente es fiel a la doble razón para esta recta y, por lo tanto, en general, es por lo tanto una proyectividad.
En geometría sintética se define: Como composición de colineaciones especiales, una imagen como
también es, por supuesto, una colineación, especialmente por ser una función biyectiva.
En un plano desarguesiano, por ser perspectivo, se mantiene la razón doble entre puntos.
Se puede demostrar que una colineación que mantienen la razón doble siempre puede representarse mediante una cadena de perspectivas, y que nunca es necesario encadenar más de tres perspectivas.
[5] Esto significa que las definiciones de álgebra lineal y geometría sintética para planos desarguesianos son equivalentes.
Para construir una perspectiva plana se pueden dar como datos el eje
(que no está en el eje y no coincide con el centro), y su punto imagen
porque es una recta fija por definición de la perspectiva.
, basta seguir el procedimiento siguiente: Casos especiales: Unicidad y existencia: Las especificaciones son las indicadas anteriormente: ¿Cuándo existe una colineación clara con la recta de punto fijo
Al seleccionar un sistema de coordenadas proyectivo en un plano, se genera una perspectiva plana, en la que se elige implícitamente una recta del infinito, formada por los puntos impropios del sistema perspectivo.
En función de la relación del centro y del eje de la perspectiva con esta recta del infinito, se tienen los casos especiales siguientes: La motivación para fijar esta terminología queda clara en los ejemplos relacionados a continuación.
Al especificar el eje y el centro en los siguientes ejemplos, siempre se supone que la colineación considerada no es la identidad en el plano.
