Axioma de Fano
En geometría sintética, el axioma de Fano es una condición de incidencia que se establece tanto para el plano afín como para el plano proyectivo.
Lleva el nombre del matemático italiano Gino Fano (1871-1952).
, de los cuales no hay tres que estén en línea recta, entonces se aplica lo siguiente: Para una transformación afín, las siguientes afirmaciones son equivalentes al axioma de Fano: Para cualquier plano afín, la primera de estas afirmaciones se deriva del axioma de Fano.
Para cada plano de traslación afín se aplica una de las dos sentencias siguientes: En el primer caso, cada traslación no idéntica tiene el orden
, en el segundo caso todas las traslaciones no idénticas también tienen el mismo orden, que es un número primo impar
En un plano afín que satisface el axioma de Fano, se pueden asignar puntos centrales
en un plano afín de Fano se llama reflexión si existe un punto
El axioma de Fano se ha formulado de dos maneras proyectivas, duales y equivalentes entre sí,[1] basadas en un cuadrángulo completo o en un cuadrilátero completo, que a su vez son duales entre sí.
Un cuadrángulo completo en un plano proyectivo consta de 4 puntos (las "esquinas" del cuadrángulo) en posición general, es decir, no hay tres de ellos que se encuentren en una línea recta común.
Los 6 segmentos rectos que conectan las esquinas se llaman “lados” del cuadrángulo.
Un cuadrángulo completo se llama “cuadrángulo anti-Fano” si los puntos de intersección de los lados opuestos se encuentran en una línea recta; en caso contrario, se llama “cuadrángulo de Fano”.
Por otro lado, si todo cuadrángulo completo es un cuadrángulo anti-Fano, entonces el plano proyectivo se suele denominar plano anti-Fano.
Respecto al axioma proyectivo de Fano, debe tenerse en cuenta: Un cuadrilátero completo en un plano proyectivo consta de 4 rectas (los lados del cuadrilátero) en posición general, es decir, está configurado de forma que tres de ellas no pasan por un punto común.
Los 6 puntos de intersección de los lados se llaman “esquinas” del cuadrilátero, y dos esquinas que no están en un lado se llaman “esquinas opuestas” del cuadrilátero.
La forma dual del axioma proyectivo de Fano es: “Las líneas que conectan las esquinas opuestas (diagonales) en cualquier cuadrilátero completo no son concurrentes”.
[5] Esto equivale a decir que para cada plano proyectivo el axioma de Fano y el axioma dual de Fano son equivalentes.
El teorema de Gleason[6] establece que un plano anti-Fano finito es siempre desarguesiano, y por lo tanto, un
es:[7] Donald Knuth dio ejemplos de "semi campos" reales, finitos y de orden par, es decir, cuasicampos, que satisfacen ambas leyes distributivas pero que no son cuerpos alternativos (consúltese el artículo semicuerpo (geometría)), donde se describen dos de estos semicuerpos de orden 16.
Los planos proyectivos sobre todos estos semicuerpos reales “knuthianos” pertenecen a la clase V de Lenz-Barlotti.
como subestructura (el cuerpo principal con 2 elementos está contenido en el núcleo del semicuerpo como cuerpo parcial) y, por lo tanto, "también" como cuadriláteros anti-Fano.
Por el contrario, una conjetura de Günter Pickert plantea que:[7] ¡En cada plano no desarguesiano finito existen cuadrángulos de Fano y anti-Fano!
Confirmar esta conjetura serviría para demostrar un teorema mucho más débil de Hanna Neumann:[8] Los planos hallados por Pickert para la demostración están construidos sobre cuasicuerpos reales coordenados de orden
Por lo tanto, esta prueba demuestra al mismo tiempo que incluso para planos de "traslación" afines, la validez del axioma correspondiente en el cierre proyectivo no puede concluirse a partir de la validez del “axioma anti-Fano” afín[10] o del axioma de Fano afín en general.
De esta manera, demuestra que: “Existen tres puntos no colineales
- es transitivo, y si los puntos diagonales en cada cuadrángulo completo de este plano son colineales, entonces el plano es desarguesiano.
