Se puede formalizar esta propiedad usando varias formas de presentar un espacio proyectivo.
[3] Cada espacio proyectivo de dimensión mayor que o igual a tres es isomorfo a la proyectividad de un espacio lineal sobre un anillo de división, por lo que en estas dimensiones esta definición no es más general que la lineal-algebraica anterior, pero en la dimensión dos existen otros planos proyectivos, es decir, los planos no-Desarguesianos, y esta condición permite definir la colinealidad en dichos planos proyectivos.
Para la dimensión uno, el conjunto de puntos que se encuentran en una sola línea proyectiva define un espacio proyectivo, y la noción resultante de colineación es cualquier biyección del conjunto.
Esto es diferente del comportamiento en dimensiones superiores, y por lo tanto se da una definición más restrictiva, especificada de modo que el teorema fundamental de la geometría proyectiva se mantenga.
Si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo pappusiano es al menos 2, entonces cada colineación es el producto de una homografía (una transformación lineal proyectiva) y una colineación automórfica.
El teorema fundamental de la geometría proyectiva establece la conclusión recíproca: Supóngase que V es un espacio vectorial sobre un campo K con una dimensión de al menos tres, W es un espacio vectorial sobre un campo L, y α es un colineación desde PG(V) a PG(W).
Para n ≥ 3, el grupo de colineación es el grupo proyectivo semilineal, PΓL - esto es PGL, trenzado por automorfismos; formalmente, el producto semidirecto PΓL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k), donde k es la característica de K. Así, para un campo principal K (
), el grupo lineal proyectivo es, en general, un subgrupo propio del grupo de colineación, que se puede considerar como el de "transformaciones que preservan una estructura semilineal proyectiva".
La idea de recta se resumió en una relación ternaria determinada por puntos colineales.
Como mencionaron Blaschke y Klein, Michel Chasles prefirió el término homografía a colineación.
Dado que no existen automorfismos de campo no triviales en el campo de los números reaes, todas las alineaciones son homogéneas en el plano proyectivo real.
La operación de tomar el conjugado en el plano complejo equivale a un reflexión sobre la recta real.