En la rama matemática de la teoría de grupos, se denomina producto semidirecto de dos grupos a un tercer grupo que extiende los dos primeros bajo ciertas condiciones adicionales.
El producto semidirecto de dos grupos se denota con el símbolo
Este producto no es único, pues depende de la elección de cierta función
, por lo que en ocasiones se hace necesario usar el símbolo
El producto semidirecto de dos grupos se caracteriza por tener dos copias isomorfas a los grupos de partida como subgrupos, los cuales además tienen intersección trivial.
Además el primero de ellos es un subgrupo normal, lo cual no es en general cierto para el segundo; el orden de los dos grupos factores importa en el producto semidirecto.
Este homomorfismo caracteriza una acción del grupo
Se denomina producto semidirecto de
, al grupo formado por todos los pares bajo la operación definida por El producto semidirecto tiene las siguientes propiedades:[1] El producto directo de grupos es un caso particular del producto semidirecto.
con otro grupo o, más formalmente, si
(no necesariamente normal) de un grupo
si se cumple cualquiera de las dos condiciones equivalentes: Sea ahora un subgrupo normal
En tal caso se dice que G se parte sobre N o que G se descompone sobre N.[2] No todo subgrupo normal tiene complemento, y si lo tiene, no tiene por qué ser necesariamente único.
No obstante, todos los complementos de un subgrupo normal
(cuando existen) son isomorfos entre sí, puesto que por los teoremas de isomorfía: Dado un subgrupo normal
, las siguientes proposiciones son equivalentes:[3] Estas condiciones son útiles para determinar si un grupo es el producto semidirecto de dos de sus subgrupos.
En cambio, la definición formal permite construir un producto semidirecto de dos grupos arbitrarios, no necesariamente subgrupos de un grupo común.
Se puede obtener una presentación del producto semidirecto a partir de las presentaciones de los grupos factores.
Si las respectivas presentaciones de los grupos son
son los conjuntos de generadores (disjuntos), y
son los conjuntos de relaciones, una presentación para el producto semidirecto
tiene la forma: donde el conjunto adicional de relaciones
está formado por las identidades En el caso particular del producto directo, los homomorfismos
son todos la identidad, luego las relaciones adicionales son de la forma donde el símbolo
es el conmutador de x e y.
, existe una extensión natural dada en forma de producto semidirecto.
Puesto que el producto es con un grupo factor
es un subgrupo del grupo simétrico de
En concreto, es posible identificar un subgrupo de este con el propio
, dado por la identificación con las funciones de multiplicación por la izquierda Entonces, considerados ambos como subgrupos, se tiene que