En álgebra abstracta, se denomina extensión del grupo
a cualquier otro grupo
que haga exacta la sucesión corta Esta condición es equivalente a que la imagen
sea un subgrupo normal de
el grupo en cierto modo contenido en la extensión, se dice que
...», por ejemplo Mac Lane y Birkhoff (1967, p. 409).
En tal caso existen dos homomorfismos: uno inyectivo
dado por la inclusión de conjuntos, y otro sobreyectivo
dado por la proyección en el cociente, que hacen que la sucesión corta sea exacta.
La extensión de grupos es el proceso inverso, que partiendo de unos grupos conocidos
genera un nuevo grupo
Este último contiene una copia isomorfa a
hace las veces del grupo factor
que, sin embargo, no es necesariamente la única extensión posible.
Junto con la clasificación de grupos finitos simples (ya resuelto), su solución permitiría clasificar de forma completa los grupos finitos, lo que se conoce como programa de Hölder.
[1] En general, una extensión de
denota el grupo de automorfismos exteriores: el cociente
{\displaystyle {\rm {Out}}\ B={\rm {Aut}}B/{\rm {Inn}}B}
No obstante, extensiones diferentes pueden dar lugar al mismo homomorfismo.
El problema de la extensión es considerado de difícil solución; sin embargo se conocen soluciones cuando se cumple alguna condición adicional, como por ejemplo cuando la extensión es el producto semidirecto de los grupos
es un autohomeomorfismo de la superficie F, entonces desde la sequencia homotópica larga del fibrado tenemos el tramo: Pero como los homomorfismos de grupo: clasifican a estas extensiones y donde el generador de
, entonces tenemos que el grupo fundamental del fibrado E está dado por es decir, estamos extendiendo el grupo fundamental de la superficie F por el grupo cíclico infinito
Es conocido que tales grupos tiene una presentación de la forma que corresponde a una extensión HNN del grupo fundamental de la superficie F.