Homomorfismo de grupos
En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria.
es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos
donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (
) es la ley de composición interna en
, y la operación del lado derecho de la ecuación (
) es la ley de composición interna en
es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.
, en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de
: Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos
donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (
) es la ley de composición interna en
, y la operación del lado derecho de la ecuación (
) es la ley de composición interna en
se llama la imagen de la aplicación, y se denota
cuya imagen es el elemento identidad de
se llama núcleo (kernel) de
es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos tienen la misma imagen:[3] Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.
La función exponencial es un homomorfismo de grupos entre los números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0): dado que
La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos, y el núcleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicación es inyectiva.
La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos: dado que
Dado un homomorfismo de grupos
, se verifican las siguientes propiedades: Por ser
, así que el núcleo contiene como mínimo al elemento identidad.
Aplicando las propiedades obtenidas hasta ahora: y dado que los elemento inversos son únicos:
Veamos que se cumplen las siguientes propiedades: Veamos que se cumplen las siguientes propiedades: Para demostrar que
se debe cumplir que pero
Veamos que se cumplen las siguientes propiedades: Sean
un homomorfismo de grupos y
son subgrupos de un grupo
son subgrupos normales de un grupo
