En matemáticas se llama extensión HNN a una construcción en el área de teoría de grupos.
La teoría de extensiones HNN es fundamental en el estudio combinatorio y geométrico de grupos.
[1] Las extensiones HNN junto a los productos amalgamados forman la base de la teoría de Bass-Serre.
Fueron introducidos por Graham Higman, Bernhard Neumann y Hanna Neumann en 1949 en el artículo Embedding Theorems for Groups.
[2] En este artículo también se prueban otros resultados interesantes relativos a grupos.
Una extensión HNN de un grupo G es la inmersión de dicho grupo en otro grupo H de forma que dos subgrupos isomorfos K y J de G son conjugados (por un isomorfismo dado previamente) en H. Si
es un isomorfismo entre dos subgrupos de
entonces la extensión HNN de
(que se nota
) tiene la siguiente presentación: Dado que el grupo
contiene los generadores y las relaciones de
, lo que prueban Higman, Neumann y Neumann en su artículo es que dicho morfismo es inyectivo.
Una consecuencia directa de este resultado es que cualquier isomorfismo entre dos subgrupos de un grupo G puede verse en una extensión H del mismo como un isomorfismo interno (o sea que ambos subgrupos resultan conjugados en H).
El lema de Britton, probado en 1963 en "The word problem"[3] da una forma de identificar los elementos de una extensión HNN que no son la identidad.
Lema de Britton Sea w tal que entonces w ≠ 1 ∈ G∗α.