La teoría de Bass-Serre puede ser considerada como la versión 1-dimensional de la teoría de orbidades y aporta un método muy importante cuando se estudia a los grupos infinitos discretos.
La teoría de Bass-Serre fue desarrollada por Jean-Pierre Serre en los setenta y formalizada en Trees, la monografía fundamental de Serre (desarrollada en conjunto con Hyman Bass) sobre el tema.
La motivación original de Serre fue para entender la estructura de ciertos grupos algebraicos cuyas construcciones llamadas Bruhat-Tits buildings son árboles.
Sin embargo, la teoría rápidamente se convirtió en una herramienta estándar de la teoría geométrica de grupos y de la topología geométrica, particularmente para el estudio de las 3-variedades.
Subsecuentes trabajos de Hyman Bass contribuyeron substanciosamente a la formalización y desarrollo de esta herramienta básica, y actualmente el término Teoría de Bass-Serre es ampliamente usado para describir el tema.
Matemáticamente, la teoría de Bass-Serre se construye sobre la explotación y generalización de las propiedades de dos viejas construcciones teórico-grupales: producto libre amalgamado y HNN-extensión.
Pero, no como el tradicional estudio algebraico de estas dos construcciones, la teoría de Bass-Serre usa el lenguaje geométrico de los espacios cubrientes y el grupo fundamental.
Aparte del libro de Serre (Trees), los tratamientos elementales de esta teoría están disponibles en los artículos de Bass (Covering theory for graphs of groups), el artículo de Scott-Wall (Topological methods in group theory), y los libros de Hatcher, Baumslag, Dicks-Martin Dunwoody y Cohen.
El formalismo de los grafos en esta teoría es ligeramente diferente con la teoría de grafos estándar.
Aquí un grafo A consiste de un conjunto de vértices V, uno de aristas E, un mapeo que invierte
, y el mapeo de vértice inicial
Así, en A, para cada arista e este viene equipado con su inverso formal
es llamado el origen o el vértice inicial de e y el vértice
Ambos, los lazos (aristas para las cuales
) y vértices múltiples son permitidos.
Una orientación sobre A es una partición de E en la unión de dos subconjuntos disjuntos
tales que para cada vértice e exactamente una de las aristas del par
y la otra pertenece a
Un grafo de grupos A consiste de la siguiente data: Para cada
, es definido como el cociente del producto libre de grupos donde F(E) es el grupo libre con base libre E, sujeto a las siguientes relaciones: El grupo
definido arriba admite una descripción algebraica en términos de productos libres amalgamados y HNN-extensiones.
Primero se construye un grupo B como cociente del producto libre sujeto a las relaciones Esta presentación puede, entonces, ser reescrita como Entonces el grupo
tiene presentación lo que nos indica que G es una HNN-extensión múltiple de B con los símbolos estables
finito, cíclico, abeliano, etc), a la descomposición se le dice que descompone sobre dicha clase.
Así una descomposición donde todos los grupo-arista son finitos se dice que descompone sobre grupos finitos.
Algebraicamente, una descomposición de G con grupos-arista triviales corresponderá a la descomposición por producto libre deonde F(X) es un grupo libre con base libre
consistente en todos las aristas positivamente orientadas en el complemento del árbol-generador T en A.