En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones.
Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo
Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L.
son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando.
Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales.
Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.
Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos.
Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.
Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera
Otro más es el espacio proyectivo
Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano: O bien fibrados de la forma
es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert.
Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.
También tenemos los fibrados de las forma
Estos son fuente de ejemplos muy importantes.
Hay 3-variedades con frontera, como la 3-bola unitaria
o el toro sólido
, cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente.
La botella de Klein sólida es otro ejemplo de tres variedad con frontera que es una superficie una botella de Klein.
También están todos los fibrados de la forma donde
Ejemplo es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein,
que construye pegando dos toros sólidos identificando dos aros en la frontera, uno en cada uno de ellos.
Otro ejemplo es el producto cartesiano
y es diferente a