Presentación de grupo
En álgebra abstracta, una presentación es una forma de definir un grupo mediante la especificación de dos conjuntos: La presentación de un grupo G suele escribirse en la forma
En las relaciones en que el segundo miembro de la igualdad sea el elemento neutro del grupo, suele omitirse la igualdad y el elemento neutro.
Por ejemplo: indica que el grupo G está generado por a, b, c, d ; y el conjunto de relaciones nos indica que b9= e, es decir, b es de orden 9, cb es de orden 3, y que c y b conmutan.
Llamamos palabra a cualquier producto de elementos del grupo o de sus inversos.
Por ejemplo, si x, y, z son elementos de un grupo G, entonces xy, z-1xzz son palabras en el conjunto {x, y, z}.
Diremos que un grupo G está generado por un conjunto S, si es posible describir todo elemento de G como producto de la forma donde todos los xi son elementos de S, y cada ai es un número entero.
Es decir, si todo elemento de G puede expresarse como una palabra en S. Si G no es un grupo libre, muchos de estos productos serán iguales.
Será necesario precisar todas estas relaciones a partir de un conjunto R de relaciones básicas de las que se deduzcan las demás, Para definir el concepto de presentación de un grupo, es necesario precisar que significa que una relación se satisface en un grupo dado.
Para esto, se recurre a los grupos libres, a través de los cuales se puede representar una relación entre productos de generadores de un grupo como una palabra en el grupo libre.
Consideremos, por ejemplo, el conjunto de símbolos
son palabras del grupo libre
, y convenir en que el lado derecho siempre es
Así, tenemos que toda relación entre los elementos de un grupo pueden expresarse como una palabra de
no son los símbolos de un grupo
, es necesario "traducirlos" a elementos de
, y así podemos decir que una relación de grupo con elementos en un conjunto
, siempre es posible definir un conjunto que satisface estas relaciones.
Se trata del grupo cociente
(la clausura normal existe, y no es más que el conjunto generado por la clase de conjugación
, es igual al elemento neutro de
Estas ideas son suficientes para dar la definición de una presentación de grupo: Si
La formulación precisa de esta última afirmación es el teorema de von Dyck siguiente:
El teorema de von Dyck nos dice que, en efecto, un grupo
cumple con la propiedad universal que caracteriza a los grupos libres, y así es libre con base
como en el teorema anterior, entonces hay un epimorfismo
), y es en este sentido que el grupo
En general, es la presentación del grupo libre
, esta presentación nos da el grupo conocido de quaterniones de orden 8. que determina un grupo que es isomorfo a
un ejemplo de grupo lineal especial.
representa las relaciones necesarias para que todo elemento de
