Conjunto generador de un grupo

Decir que x genera el grupo G es equivalente a decir que = G, caso en el cual G mismo sería un grupo cíclico; si G tiene tamaño finito, cualquiera de esas dos condiciones es equivalente a que x tenga orden |G|.Por el contrario, el grupo Z de enteros bajo la adición es un ejemplo de un grupo infinito que es finitamente generado, bien sea por <1>, bien sea por <−1> (con lo cual es también cíclico).Por ejemplo, si p y q son enteros primos entre sí, entonces <{p, q}> genera también a Z. Todo grupo cociente de un grupo finitamente generado es, a su vez, finitamente generado; en cambio, un subgrupo de un grupo finitamente generado puede no serlo.Por ejemplo, si G es el grupo libre en dos generadores, x e y, es claro que G es finitamente generado; sin embargo, si S es el conjunto conformado por todos los elementos de la forma ynxy−n, donde n es un número natural, es claro que es isomorfo al grupo libre en contables generadores, con lo cual no puede ser finitamente generado.Un elemento x de G es un no-generador de G si para todo subconjunto S de G que genere a G, con x ∈ S, se cumple que S − {x} también genera a G. El único no-generador del grupo Z es el 0.