Homografía (geometría)

A finales del siglo XIX se introdujeron las primeras definiciones formales de los espacios proyectivos, que extendían los espacios euclídeos y afines mediante la adición de puntos del infinito.

Los espacios proyectivos se pueden definir de dos formas distintas que resultan ser equivalentes.

Esta construcción facilita el uso de coordenadas proyectivas y permite el uso de las herramientas del álgebra lineal para estudiar la geometría proyectiva en general y las homografías en particular.

El enfoque alternativo (la geometría proyectiva sintética) consiste en definir los espacios proyectivos a partir de una serie de axiomas que no involucran explícitamente ningún cuerpo ni espacio vectorial.

Gran parte de los resultados siguen siendo ciertos con otras hipótesis, o pueden ser generalizados.

En el espacio euclídeo tridimensional, una proyección central desde un punto O (el centro de la proyección) en un plano P que no contiene el punto O es la transformación que manda cada punto A a la intersección (si existe) de la recta OA con el plano P. Esta proyección no está definida si el punto A pertenece al plano paralelo a P que pasa por O.

Esta proyección se puede entender intuitivamente de la forma siguiente: O puede representar el ojo de una persona (o su punto de vista), el espacio euclídeo es la realidad que lo rodea, y el plano P es el plano adonde mira; la proyección del espacio en el plano es la representación de la realidad que ve O al mirar hacia el plano P. Dado otro plano Q que no contenga el punto O, podemos proyectar los puntos de Q en P desde O como antes.

[2]​Es parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva que esta definición coincide con la más algebraica expuesta a continuación.

se definen de forma completamente análoga al caso anterior.

se puede entender como "salvo producto por escalar no nulo".

De las propiedades 2, 3 y 4 anteriores se deduce que, fijado un espacio proyectivo

Un resultado importante es que las homografías quedan unívocamente determinadas tras fijar la imagen de una referencia proyectiva.

En esta sección queremos hacer algo análogo con las homografías: encontrar una matriz que transforme las coordenadas homogéneas de los puntos en las coordenadas homogéneas de sus imágenes.

, usando la propiedad 1 anterior y que dos bases adaptadas a una misma referencia proyectiva son necesariamente proporcionales (esto último demostrado en el artículo Referencia proyectiva).

La dimensión de la variedad lineal proyectiva se define como uno menos que la del subespacio vectorial:

La suma de dos variedades lineales proyectivas resulta ser la más pequeña que las contiene a ambas.

El primer resultado de esta sección es que las variedades lineales proyectivas y su dimensión son un invariante para las homografías.

Las homografías se comportan bien respecto a las operaciones definidas entre variedades lineales proyectivas:

En este apartado se demuestra que conjuntos de puntos proyectivamente independientes se corresponden por una homografía con conjuntos de puntos también proyectivamente independientes.

alineados, por lo menos tres de ellos distintos, podemos definir su razón doble.

Así, podemos definir su razón doble como el número (ver, por ejemplo, la página en alemán):

Ahora, por el resultado demostrado en la sección sobre referencias proyectivas, las coordenadas de

Observando que, por definición, la razón doble sólo depende de las coordenadas en una referencia, y teniendo los puntos originales y sus imágenes las mismas coordenadas, deben tener las mismas razones dobles.

Esta última propiedad tiene una aplicación importante en la teoría de la perspectiva.

Se puede demostrar que toda perspectividad es una homografía y, por tanto, conserva la razón doble.

Por tanto, cualesquiera cuatro puntos en un plano de la realidad y sus representaciones tienen que tener la misma razón doble.

Las coordenadas de los diferentes puntos se dan en la tabla siguiente: A continuación, para una homografía

En caso de que el polinomio característico de la aplicación homogénea sea descomponible en factores lineales (esto es, cuando tiene tantas raíces como su grado, como por ejemplo, en la geometría compleja, es decir, cuando el cuerpo son los números complejos), sólo hay dos posibilidades, dependiendo de si este polinomio tiene raíces simples o dobles: En el caso real, hay un caso añadido: aquel en el que el polinomio característico (de grado 2) no tiene raíces (reales).

En el caso complejo, las homografías de la recta proyectiva compleja, que es un plano real con un punto del infinito añadido, y las homografías (las dos posibilidades de la tabla anterior) compuestas con las reflexiones (llamadas antihomografías) forman exactamente las transformaciones circulares.

Para los casos en los que el polinomio característico de la aplicación homogénea descompone en factores lineales (esto es, cuando tiene tantas raíces como su grado), se obtiene: Se observa que siempre hay tantos puntos fijos como rectas invariantes.