Proyección central
un plano que no contiene a V, se denomina proyección central sobre
A lo largo del resto del artículo, se denominan rectas y planos centrales a las rectas y planos que pasan por el centro O de una proyección central.
Se denomina proyección central sobre (P) con centro en O, a la aplicación de
[1] Nota: este punto está bien definido, ya que M no pertenece a (P').
y sea la proyección de centro O(0,0,0) sobre ( P).
La proyección central y sus límites en espacios afines motivaron la creación de espacios proyectivos y dieron origen a la geometría proyectiva[3].
Se construye así una biyección entre el conjunto de rectas del plano que pasan por O y una recta del plano completada por un punto en el infinito.
Para cualquier punto M de la recta, se denomina el vector relacionado con M, cualquier vector director de la recta (OM).
[4] En el caso de una proyección central sobre un plano proyectivo (P), la recta (OM) siempre corta al plano (P) (considerando la recta del infinito).
La proyección central queda entonces definida para cualquier punto distinto de O, y es una aplicación sobreyectiva del espacio sobre el plano (P) excepto para el punto O.
Es más, precisamente se trata de un caso especial de homología, ya que tiene como puntos fijos un hiperplano y un punto exterior al hiperplano.
Todas las propiedades se entienden para un espacio afín (siempre que los puntos o las relaciones allí estén bien definidos) y para un espacio proyectivo.
[10] Las proyecciones centrales mantienen la razón anarmónica de 4 puntos sobre una recta.
Hay muchas maneras de demostrar esta propiedad.
En el plano proyectivo, si (d1) y (d2) son dos líneas rectas distintas que no pasan por O, la restricción a (d1) de la línea central de la proyección del centro O sobre (d2) es una biyección cuyo recíproco es la proyección del centro O de (d2) sobre (d1).
[20] Cualquier homografía de (d1) en (d2) se puede descomponer en como máximo dos proyecciones.
Tomando (I, A, B) sobre (d1), y sus imágenes (I, A', B'), la homografía coincide en estos tres puntos con la proyección de (d1) sobre (d2) con centro en O, intersección de (AA') y (BB').
[22] Además de su utilidad para dibujar en perspectiva, la proyección central permite establecer una correspondencia entre un plano "clásico" donde se representan círculos y paralelogramos con un plano proyectivo.
Esta correspondencia es una herramienta poderosa para generalizar las propiedades del círculo y del paralelogramo a las cónicas y al cuadrilátero completo.
Estas 4 rectas producen 6 puntos de intersección que son los vértices del cuadrilátero completo.
Estos 6 puntos producen a su vez otras tres rectas distintas de las 4 anteriores, llamadas diagonales del cuadrilátero completo.
Cualquier cuadrilátero completo puede verse como una imagen mediante proyección central de un paralelogramo.
Para convencerse de esto, basta con observar que la razón doble [A,B, I, ∞] vale -1.
Se deduce que en el paralelogramo completo opuesto, (IK),(IJ),(IE), (IF) también es un haz armónico y que los puntos (EFKJ) forman una cuaterna armónica.
Asimismo, en un paralelogramo, el conjunto de rectas paralelas formadas a partir de los soportes de dos lados opuestos, desde la mediana y la recta hasta el infinito, es un conjunto armónico, lo mismo ocurre con el conjunto (EA), (EC), (EI), (EF) y los puntos (ACIK), que forman una cuaterna armónica.
Por proyección central en este plano las imágenes rectas de (AB) y (A'C') (respectivamente de (BC) y (B'C'), de (CA) y (C'A') son paralelas entre sí.
[27] Todas las propiedades que afectan al círculo y relativas a las invariantes de las proyecciones centrales (alineación, tangencia, razón doble) se pueden transferir a cualquier cónica.
