Teorema de Segre
En geometría proyectiva, el teorema de Segre, que lleva el nombre del matemático italiano Beniamino Segre, es el siguiente enunciado: Esta afirmación fue enunciada en 1949 por los matemáticos finlandeses G. Järnefelt y P. Kustaanheimo, y su demostración fue publicada en 1955 por B. Segre.
Un plano proyectivo papiano finito se puede imaginar como el cierre proyectivo del plano real (mediante una línea recta en el infinito), donde los números reales son reemplazados por un cuerpo finito K. Orden impar significa que |K|= n es impar.
Un óvalo es una curva similar a una circunferencia (véanse las definiciones que figuran a continuación): cualquier recta lo corta en como máximo 2 puntos y por cualquiera de sus puntos pasa exactamente una tangente.
Los ejemplos estándar son las secciones cónicas proyectivas no degeneradas.
En los planos proyectivos papianos de orden par mayor que cuatro hay óvalos que no son cónicas.
En un plano infinito existen óvalos, que no son cónicas.
En el plano real, para obtener un óvalo que no es una cónica, basta con pegar la mitad de una circunferencia y la mitad de una elipse adecuadas para garantizar la suavidad de la curva resultante.
La definición tiene la forma siguiente: Para planos finitos (es decir, si el conjunto de puntos es finito) se dispone de una caracterización más conveniente: Sea
un óvalo en un plano proyectivo papiano de característica
es una cónica no degenerada si y solo si se verifica la proposición (P3): Sea el plano proyectivo coordenado no homogéneo sobre un campo
, el eje x es la tangente en el punto
se puede describir mediante una función
tal que: La tangente en el punto
se describe usando una función
tal que su ecuación es Por lo tanto (véase la imagen): I: si
es una cónica no degenerada se tiene que
y se calcula fácilmente que
es un óvalo con la propiedad (P3), la pendiente de la recta
es igual a la pendiente de la recta
se obtiene (i) y (ii) permiten obtener Una consecuencia de (ii) y (v) es que Por lo tanto,
Observación: La propiedad (P3) se cumple para cualquier óvalo en un plano proyectivo papiano de característica 2 con núcleo (todas las tangentes se encuentran en el núcleo).
Por lo tanto, en este caso (P3) también es válido para óvalos no cónicos.
en un plano proyectivo papiano finito de orden impar es una sección cónica no degenerada.
El plano papiano está definido en coordenadas no homogéneas sobre un campo finito
es el punto común de las tangentes en
se puede describir usando una función biyectiva
Dado que ambas funciones
se obtiene Observación: Para
Esto es válido para cualquier triángulo
Entonces, la propiedad (P3) del teorema de Pascal de los 3 puntos se cumple, y el óvalo es una cónica no degenerada.
