En geometría proyectiva, el teorema de Segre, que lleva el nombre del matemático italiano Beniamino Segre, es el siguiente enunciado: Esta afirmación fue enunciada en 1949 por los matemáticos finlandeses G. Järnefelt y P. Kustaanheimo, y su demostración fue publicada en 1955 por B. Segre.Un plano proyectivo papiano finito se puede imaginar como el cierre proyectivo del plano real (mediante una línea recta en el infinito), donde los números reales son reemplazados por un cuerpo finito K. Orden impar significa que |K|= n es impar.Un óvalo es una curva similar a una circunferencia (véanse las definiciones que figuran a continuación): cualquier recta lo corta en como máximo 2 puntos y por cualquiera de sus puntos pasa exactamente una tangente.Los ejemplos estándar son las secciones cónicas proyectivas no degeneradas.En los planos proyectivos papianos de orden par mayor que cuatro hay óvalos que no son cónicas.En un plano infinito existen óvalos, que no son cónicas.En el plano real, para obtener un óvalo que no es una cónica, basta con pegar la mitad de una circunferencia y la mitad de una elipse adecuadas para garantizar la suavidad de la curva resultante.La definición tiene la forma siguiente: Para planos finitos (es decir, si el conjunto de puntos es finito) se dispone de una caracterización más conveniente: Seaun óvalo en un plano proyectivo papiano de característicaes una cónica no degenerada si y solo si se verifica la proposición (P3): Sea el plano proyectivo coordenado no homogéneo sobre un campo, el eje x es la tangente en el puntose puede describir mediante una funcióntal que: La tangente en el puntose describe usando una funcióntal que su ecuación es Por lo tanto (véase la imagen): I: sies una cónica no degenerada se tiene quey se calcula fácilmente quees un óvalo con la propiedad (P3), la pendiente de la rectaes igual a la pendiente de la rectase obtiene (i) y (ii) permiten obtener Una consecuencia de (ii) y (v) es que Por lo tanto,Observación: La propiedad (P3) se cumple para cualquier óvalo en un plano proyectivo papiano de característica 2 con núcleo (todas las tangentes se encuentran en el núcleo).Por lo tanto, en este caso (P3) también es válido para óvalos no cónicos.en un plano proyectivo papiano finito de orden impar es una sección cónica no degenerada.El plano papiano está definido en coordenadas no homogéneas sobre un campo finitoes el punto común de las tangentes ense puede describir usando una función biyectivaDado que ambas funcionesse obtiene Observación: ParaEsto es válido para cualquier triánguloEntonces, la propiedad (P3) del teorema de Pascal de los 3 puntos se cumple, y el óvalo es una cónica no degenerada.
Para la definición de un óvalo en un espacio finito:
tangente,
secantes. El valor
es el orden del plano proyectivo (número de puntos en una recta-1)
Para la demostración,
es la tangente en
Demostración del teorema de Pascal con 3 puntos
Versión de 3 puntos del teorema de Pascal. Para la demostración se asume que
