Curva dual

La condición de que la línea sea tangente a la curva se puede expresar en la forma F(X, Y, Z) = 0, que es la ecuación tangencial de la curva.

Sea (p, q, r) el punto de la curva, entonces la ecuación de la tangente en este punto viene dada por Entonces Xx + Yy + Zz = 0 es una tangente a la curva si Al eliminar p, q, r y λ de estas ecuaciones, junto con Xp + Yq + Zr = 0, se obtiene la ecuación en X, Y y Z de la curva dual.

El dual de una línea recta (una curva de grado 1) es una excepción a esta regla y se considera un punto en el espacio dual (es decir, la línea original).

Para curvas con puntos singulares, estos puntos también estarán en la intersección de la curva y su polar y esto reduce el número de posibles líneas rectas tangentes.

extendido por la línea del infinito, y se elige como cónica la circunferencia unitaria

Finalmente, se amplía esta construcción tomando como polar de O la línea del infinito, y para el polo de una línea recta que pasa por O el punto en el infinito de la dirección ortogonal a esta línea.

Siendo la inversión una transformación involutiva, se comprueba fácilmente que el dual de la curva dual no es otra que la curva inicial, de ahí el nombre de "transformación por polares recíprocas" que se le da a esta transformación.

De manera similar, al generalizar a dimensiones superiores, dada una hipersuperficie, el espacio tangente en cada punto produce una familia de hiperplanos y, por lo tanto, define una hipersuperficie dual en el espacio dual.

Ejemplos La construcción de la curva dual funciona incluso si la curva es poligonal (o está definida a intervalos, pero la correspondencia resultante está degenerada (si hay componentes lineales) o mal definida (si hay puntos singulares).

En el caso de un polígono, todos los puntos en cada borde comparten la misma línea tangente y, por lo tanto, se asignan al mismo vértice del dual, mientras que la línea tangente de un vértice está mal definida y se puede interpretar como todas las líneas que pasan a través de él con un ángulo comprendido entre las dos aristas que comparten el vértice.