Cúspide (singularidad)

En algunos contextos, la condición en la derivada direccional puede omitirse, aunque, en este caso, la singularidad puede parecer un punto regular.

Para ver de donde provienen estas condiciones de divisibilidad adicionales, supóngase que f tiene una parte cuadrática degenerada L2 y que L divide los términos cúbicos.

Se puede completar el cuadrado para mostrar que L2 ± LQ = (L ± ½ Q)2 – ¼Q4.

Ahora, se puede hacer un cambio difeomorfo de variable (en este caso simplemente se sustituyen polinomios con partes lineales linealmente independientes) de modo que (L ± ½Q)2 − ¼Q4 →  x12 + P1 donde P1 es una cuártica (orden cuatro) en x1 e y1.

Si x1 no divide P1, entonces se tiene exactamente el tipo A3 (el conjunto de nivel cero aquí implica un tacnodo).

Si x2 no divide a P2, entonces se tiene exactamente el tipo A4, es decir, el conjunto de nivel cero será una cúspide rhamphoide.

Las cúspides aparecen naturalmente cuando se proyecta en un plano una curva suave en el espacio euclídeo tridimensional.

En general, tal proyección es una curva cuyas singularidades son puntos de autocruzamiento y cúspides ordinarias.

Las singularidades más complicadas se presentan cuando varios fenómenos ocurren simultáneamente.