Parábola semicúbica
En matemáticas, una parábola semicúbica (o también una cúspide cúbica) es una curva algebraica que posee una función implícita de la forma: (con a ≠ 0) en algún sistema de coordenadas cartesianas.
Resolver y conduce a la forma explícita lo que implica que cada punto real satisface x ≥ 0.
Su exponente explica la denominación de parábola semicúbica (una parábola puede describirse mediante la ecuación y= ax2).
Resolver la ecuación implícita para x produce una segunda forma explícita La ecuación paramétrica también se puede deducir de la ecuación implícita poniendo
[1] Las parábolas semicúbicas tienen una singularidad cuspidal, de ahí el nombre de cúspide cúbica.
La longitud del arco de la curva fue calculada por el matemático inglés William Neile, y se publicó en 1657 (véase la sección dedicada a su historia).
es semejante a la parábola unitaria semicúbica
Prueba: La relación de semejanza
(escala uniforme) asigna la parábola semicúbica
la curva presenta una singularidad (cúspide).
La demostración se deduce del vector tangente
este vector tiene longitud cero.
Derivando la parábola unitaria semicúbica
de la rama superior la ecuación de la tangente: Esta tangente corta la rama inferior exactamente en un punto más con coordenadas[3] (para probar esta afirmación, se debe utilizar el hecho de que la tangente corta la curva en
hay que resolver la integral
Ejemplo: Para a= 1 (parábola semicúbica unidad) y b= 2, la longitud del arco entre el origen y el punto (4,8) mide 9,073.
es una parábola semicúbica desplazada 1/2 en el eje x:
Para obtener la representación de la parábola semicúbica
hay un punto diferente al origen:
(véase lista de identidades) se obtiene[4] Hacer corresponder la parábola semicúbica
, de ahí la función cúbica
La cúspide (origen) de la parábola semicúbica se intercambia con el punto en el infinito del eje y.
) y se realiza la multiplicación por
para obtener la ecuación de la curva en coordenadas homogéneas:
como recta del infinito e introducir
se obtiene la curva (afín)
Una propiedad definitoria adicional de la parábola semicúbica es que es una curva isócrona, lo que significa que una partícula que sigue su trayectoria mientras es arrastrada hacia abajo por la gravedad recorre intervalos verticales iguales en períodos de tiempo iguales.
De esta manera se relaciona con la tautócrona, en la que las partículas en diferentes puntos de partida siempre tardan el mismo tiempo en llegar al fondo, y la curva braquistócrona, la curva que minimiza el tiempo que tarda una partícula en caer desde su inicio hasta su final.
La parábola semicúbica fue descubierta en 1657 por William Neile, quien calculó su longitud de arco.
Aunque las longitudes de algunas otras curvas no algebraicas, incluidas la espiral logarítmica y la cicloide, ya se habían calculado (es decir, que esas curvas ya habían sido "rectificadas"), la parábola semicúbica fue la primera curva algebraica (excluyendo la recta y la circunferencia) en ser rectificada.
