Evoluta

Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C".

Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo.

Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):

x

x ′

x ″

{\displaystyle R=1/k={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{x'y''-x''y'}},}

Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t).

Los centros de curvatura serán entonces:

x

{\begin{matrix}x_{C}=&x-\displaystyle {\frac {y'(1+y'^{2})}{y''}}\\y_{C}=&y+\displaystyle {\frac {1+y'^{2}}{y''}}\end{matrix}}\right\}}

y el radio

Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:

{\displaystyle F(x_{C},y_{C})=0}

Dada la elipse:

s e n

{\begin{matrix}x=&a\ \cos \ t\\y=&b\ \mathrm {sen} \ t\end{matrix}}\right\}}

Su evoluta viene dada por:

s e n

{\begin{matrix}x=&\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t\\y=&\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\mathrm {sen} ^{3}t\end{matrix}}\right\}}

que, eliminando el parámetro, queda:

( a x

+ ( b y

{\displaystyle (ax)^{\frac {2}{3}}+(by)^{\frac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\frac {2}{3}}}