La circunferencia osculatriz tiene con la otra curva un contacto de segundo orden en el punto considerado, o sea, las primeras y las segundas derivadas de ambas curvas son iguales.Si los puntos se toman suficientemente próximos entre sí, la circunferencia definida por la construcción anterior constituye una aproximación a la circunferencia osculatriz en el punto intermedio de los tres dados.Si se imagina un proceso de paso límite de tal manera que los tres puntos acaben coincidiendo, la circunferencia límite obtenida es precisamente la circunferencia osculatriz.Este proceso de límite es análogo al seguido para obtener la recta tangente a una curva haciendo coincidir dos puntos arbitrariamente cercanos.Se demuestra que el centro de curvatura correspondiente es el punto Q a una distancia R sobre el vector normal N, en la misma dirección si k es positiva y en la dirección contraria si k es negativa.El círculo con centro en Q y con radio R es llamado el círculo osculatriz o circunferencia osculatriz de la curva C en el punto P. Si C es una curva espacial regular entonces la circunferencia osculatriz es definida de una forma similar, usando el principio del vector normal N. Este círculo descansaría sobre el plano osculador, el plano que generan los vectores T y N en el punto P. Aunque en las 3 dimensiones es más común hablar de la esfera osculatriz.