Punto singular de una curva
De manera similar, si b0≠0 entonces existe una función continuamente diferenciable k tal que la curva posee la forma x=k(y) cerca del origen.
En cualquiera de los dos casos, existe un mapeo continuamente diferenciable desde R al plano que define la curva en las proximidades del origen.
En este caso, si c0+2mc1+c2m2 no es 0 entonces la curva posee un punto de doble contacto con y=mx.
Este análisis puede ser aplicado a todo punto de una curva trasladando los ejes coordenados de forma que el origen se encuentre en el punto que se desea estudiar.
Nuevamente haciendo y=mx, f se puede expresar como Los puntos dobles pueden ser clasificados según las soluciones de c0+2mc1+m²c2=0.
En este caso la curva cambia de dirección en el origen creando un punto aguzado.
Si ambas tangentes poseen esta propiedad, entonces c0+2mc1+m²c2 es un factor de d0+3md1+3m2d2+m3d3, entonces el origen es denominado biflecnodo.
Las definiciones anteriores pueden extenderse para abarcar curvas implícitas, que se definen como el conjunto de ceros f−1(0) de una función continuamente diferenciable, y no es necesario solo considerar variedades algebraicas.
