Originalmente Morse aplicó su teoría a la geodesia (puntos críticos de energía funcional en las trayectorias).Considerando un paisaje montañoso M, si f es la función M → R de modo que manda cada punto a su elevación, entonces la imagen inversa de un punto en R es simplemente una isolínea.En otras palabras, la topología no cambia excepto cuando el agua (1) comienza a llenar la cuenca, (2) cubre el punto de silla, o (3) sumerge un pico.Dejando aparte el contexto de la topografía se puede hacer un análisis similar al del cambio de la topografía de Ma cuando a aumenta, como un toroide orientado como en la imagen en la que f es la proyección sobre un eje vertical tomando un punto a su altura por un plano superior.Una vez que a pasa el nivel de r y f(r)Finalmente, cuando a es mayor que el nivel crítico de s, Ma es un toroide.Por tanto, parece existir la siguiente regla: la topología de Ma no cambia excepto cuando a pasa la altura de un punto crítico, y cuando a pasa la altura de un punto crítico con índice γ, se añade una γ-célula a Ma.Para verlo se supone que M = R y que f(x)=x3, entonces 0 es un punto crítico de f pero la topología de Ma no cambia cuando a sobrepasa 0.Este tipo de situación se conoce como punto crítico degenerado.Nótese que esta situación es inestable: al rotar el sistema de coordenadas bajo la gráfica el punto crítico degenerado desaparece o se rompe en dos puntos críticos no degenerados.El índice de un punto crítico no degenerado b de f es la dimensión del subespacio más grande del espacio tangente a M en b en el cual la hessiana es negativa definida.Como corolario del Lema de Morse se puede ver que los puntos críticos no degenerados están aislados.Resulta interesante también saber cómo la topología de Ma cambia cuando a pasa un punto crítico.El siguiente teorema responde a esa cuestión: Estos resultados generalizan y formalizan la 'regla' establecida en la sección anterior.Como ha sido mencionado, la regla así definida era incorrecta y son estos teoremas los que la corrigen.Usando los dos resultados previos y el hecho de que existe una función de Morse en cada variedad diferencial, se puede probar que cualquier variedad diferencial es un CW-complejo con n-células para cada punto crítico de índice n. Para hacer esto es necesario el hecho técnico de que se pueda arreglar para tener un único punto crítico en cada nivel crítico, que se suele probar utilizando una generalización del campo gradiente vectorial para reordenar los puntos críticos.es igual a la suma Donde Cγ es el número de puntos críticos con índice γ.Además debido a la homología celular, el rango del grupo homólogo nth del complejo CW M es menor o igual al número de n-células en M. Por tanto el rango del grupo homólogo γth, por ejemplo el número de BettiSuponiendo una variedad cerrada en la que existe una función de Morse f : M→R con k puntos críticos, ¿en qué manera la existencia de la función f restringe M?Ed Witten desarrolló una aproximación relacionada con la Teoría de Morse en 1982 utilizando funciones armónicas.La función de Morse es el caso especial en el que las variedades críticas son cero-dimensionales (de modo que la matriz hessiana en los puntos críticos es no-degenerada en cualquier dirección).
