Relación inversa

La notación es análoga a la de una función inversa.La operación unaria que mapea una relación en su inversa es una involución, de tal forma que induce la estructura de un semigrupo con involución en las relaciones binarias en un conjunto, o de forma general, induce una categoría con involución en la categoría de relaciones como se detalla a continuación.Como operación unaria, la inversa (a veces llamada transpuesta) conmuta con las operaciones relacionadas con el orden del cálculo de relaciones, es decir, conmuta con la unión, la intersección, y el complemento.La relación inversa también es llamada relación transpuesta— en vista a su similitud con la transpuesta de una matriz .[1]​ También recibe nombres como el opuesto de la relación original,[2]​ o el inverso de la relación original,[3]​[4]​[5]​ o el recíproco L° de la relación L.[6]​ Otras notaciones para la relación inversa son LC, L–1, L~,Para las relaciones de orden (estrictas o no), la inversa es el orden opuesto, por ejemplo:Una relación puede ser representada por una matriz booleana como la siguiente La relación inversa es representada por su matriz transpuesta: La inversa de relaciones de parentesco son llamadas: "A es hijo de B" tiene inversa "B es hijo de A"."A es sobrino de B" tiene inversa "B es tío de A".La relación "A es hermano B" es su propia inversa, puesto que es una relación simétrica.En teoría de conjuntos, se supone un universo U de discurso, y una relación fundamental de miembro del conjunto x ∈ A cuando A es un subconjunto de U.En el monoide de las endorrelaciones binarias en un conjunto (con la operación binaria en relaciones siendo la composición de relaciones), la relación inversa no satisface la definición de inverso en teoría de grupos, por ejemplo, si L es una relación arbitraria en X, entoncesno es igual a la relación identidad en X en general.La relación inversa satisface los axiomas (débiles) de un semigrupo con involución:[7]​ Dado que generalmente se pueden considerar relaciones entre diferentes conjuntos (los cuales forman una categoría ,más que monoide, a saber, la categoría de relaciones Rel), en este contexto la relación inversa se adecúa a los axiomas de categoría de daga (también conocido como categoría con involución).[7]​ Una relación igual a su inversa es una relación simétrica; en languaje de categorías de dagas, es su propio adjunto.Además, el semigrupo de endorrelaciones en un conjunto es también una estructura parcialmente ordenada (con la inclusión de relaciones como conjuntos).De forma parecida, la categoría de las relaciones heterogéneas Rel también es una categoría ordenada.[7]​ En el cálculo de relaciones, la inversión (la operación unaria de tomar la relación inversa) conmuta con otras operaciones binarias de unión e intersección.La inversión también conmuta con la operación unaria de complementación, así como con el supremo e ínfimo .La inversión también es compatible con la ordenación de relaciones por inclusión.[8]​ Si una relación es reflexiva, irreflexiva, simétrica, antisimétrica, asimétrica, transitiva, total, tricotómica, un orden parcial, orden total, orden estrictamente débil, preorden total (orden débil), o una relación de equivalencia, su inversa también lo es.Si I representa la relación de identidad, entonces una relación R puede tener una inversa de la siguiente manera: Una función es invertible si y solo si su relación inversa es una función, en cuyo caso, la relación inversa es la función inversa.Esto no es necesariamente una función: una condición necesaria es que f sea inyectiva, ya que si noes una función (total) si y solo si f es sobreyectiva., la cual no es una función, ya que para cada valor de