En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.
: Que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):[1] Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad.
En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.
Si además se cumple la propiedad conmutativa: Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna
si: Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.
Dado un conjunto A de caracteres alfanuméricos, que llamaremos alfabeto, una cadena alfanumerica del alfabeto A es una secuencia de elementos de A en cualquier orden y de cualquier longitud, si tomas el conjunto como: Cadenas del alfabeto[2] A, que representamos C(A) pueden ser: La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería: Definimos la operación
tiene estructura algebraica de monoide: 1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas del alfabeto A su concatenación es una cadena de A: 2.- Es asociativa: 3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres de A, existe la cadena vacía
Luego la concatenación de cadenas alfanuméricas es un monoide no conmutativo.
Partiendo del conjunto de los números naturales: y la operación multiplicación, podemos ver que:
es un monoide 1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural: 2.- Es asociativa: 3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N es neutro para todos los números naturales ya que cumple: 4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa: El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación:
, tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.
Un monoide también se puede ver como un tipo particular de categoría.
Concretamente, un monoide se puede definir como una categoría con un único objeto.
Sobre este conjunto, la composición de morfismos define una operación binaria interna.
equipado con la composición de morfismos constituye un monoide.
De esta forma, toda categoría con un único objeto
da lugar a un monoide al tomar el conjunto de morfismos
También es posible ir en la dirección opuesta y definir, a partir de un monoide
, que satisface propiedades análogas a las de la operación binaria en un monoide.