Ley de composición
En álgebra abstracta, la ley de composición es un tipo de operación binaria que da lugar a distintas estructuras algebraicas.
Se trata de una función o aplicación que toma dos elementos de dos conjuntos dados y los asigna a otro elemento, perteneciente a uno de los dos conjuntos.
Podemos diferenciar ley de composición interna y externa.
Si los conjuntos de partida son diferentes entre sí, se dice que la ley de composición es externa.
[2][3][4] Este elemento c es único para cada par (a, b) determinado, lo cual se expresa en símbolos de la siguiente manera.
Son operaciones internas La aplicación que asigna a cada par de puntos del plano el punto medio del segmento que los une.
Si los dos elementos operados no pertenecen al mismo conjunto la ley de composición es externa,[5] pudiendo diferenciar: Dado dos conjunto A y B, y una operación:
Se denomina ley de composición externa por la derecha.
Se denomina ley de composición externa por la izquierda.
Pueden tener las siguientes propiedades: Se dice que esta ley de composición interna
Esto mismo también puede decirse: Una ley de composición interna
Se dice que una ley de composición interna
, tiene la propiedad asociativa si: no existen valores a, b, c en A, para los que operar a con b y el resultado con c, sea distinto de operar a con el resultado de operar b con c. Para un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna:
Pueden tener las siguientes propiedades: Dado un conjunto A, no vacío, en el que se han definido dos leyes de composición internas, que denotamos:
Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas:
, la primera es distributiva por la izquierda sobre la segunda si: Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley a con el resultado de operar con la segunda ley b con c es igual al resultado de operar con la segunda ley los resultados de operar con la primera ley a con b y a con c. Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas:
, la primera es distributiva por la derecha sobre la segunda si: Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley, el resultado de operar por la segunda ley a con b, con c es igual al resultado de operar con la segunda ley, los resultados de operar con la primera ley a con c y b con c. Dados dos conjuntos, no vacíos: En el que se ha definido una ley de composición externa
Dado un conjunto A y una ley de composición interna:
y un segundo conjunto K, que junto con A tiene una ley de composición externa
Dado un conjunto A y una ley de composición interna: Y un segundo conjunto K que tiene con A una ley de composición externa: Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la derecha sobre la interna si: Dado un conjunto A que tiene una ley de composición interna: Y un conjunto K que tiene con A una ley de composición externa: Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la izquierda sobre la interna cuando se cumple que: Dado uno o más conjuntos dotados de una o más leyes de composición, cada uno de esos grupos de conjuntos y sus leyes de composición son una estructura algebraica, independientemente del aspecto del conjunto y de la ley de composición.
Distintos conjuntos y operaciones pueden tener una misma estructura algebraica que define las operaciones que se pueden realizar.
La estructura de magma garantiza la existencia y unicidad del resultado de la operación, puesto que, cualesquiera sean
, que es el resultado de operar a con b.
Además, si la ley de composición definida es conmutativa, la estructura se denomina conmutativa o abeliana.
Definamos para el anterior conjunto A una segunda ley de composición interna: del mismo modo que con la operación
El conjunto A junto con las dos leyes definidas se representa con la terna
Elegimos este caso ya que la notación resulta favorable para la comprensión, debido a las nociones de distributividad de la aritmética.
es un anillo, puede pasar que Las estructuras algebraicas suelen estar orientadas a las operaciones con números, por lo cual el álgebra de Boole no suele incluirse en este grupo.
Sin embargo, ésta define operaciones con los elementos de un conjunto y por lo tanto es una estructura algebraica.
en el que se han definido dos leyes de composición interna
