Ley de composición

En álgebra abstracta, la ley de composición es un tipo de operación binaria que da lugar a distintas estructuras algebraicas.Se trata de una función o aplicación que toma dos elementos de dos conjuntos dados y los asigna a otro elemento, perteneciente a uno de los dos conjuntos.Podemos diferenciar ley de composición interna y externa.Si los conjuntos de partida son diferentes entre sí, se dice que la ley de composición es externa.[2]​[3]​[4]​ Este elemento c es único para cada par (a, b) determinado, lo cual se expresa en símbolos de la siguiente manera.Son operaciones internas La aplicación que asigna a cada par de puntos del plano el punto medio del segmento que los une.Si los dos elementos operados no pertenecen al mismo conjunto la ley de composición es externa,[5]​ pudiendo diferenciar: Dado dos conjunto A y B, y una operación:Se denomina ley de composición externa por la derecha.Se denomina ley de composición externa por la izquierda.Pueden tener las siguientes propiedades: Se dice que esta ley de composición internaEsto mismo también puede decirse: Una ley de composición internaSe dice que una ley de composición interna, tiene la propiedad asociativa si: no existen valores a, b, c en A, para los que operar a con b y el resultado con c, sea distinto de operar a con el resultado de operar b con c. Para un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna:Pueden tener las siguientes propiedades: Dado un conjunto A, no vacío, en el que se han definido dos leyes de composición internas, que denotamos:Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas:, la primera es distributiva por la izquierda sobre la segunda si: Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley a con el resultado de operar con la segunda ley b con c es igual al resultado de operar con la segunda ley los resultados de operar con la primera ley a con b y a con c. Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas:, la primera es distributiva por la derecha sobre la segunda si: Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley, el resultado de operar por la segunda ley a con b, con c es igual al resultado de operar con la segunda ley, los resultados de operar con la primera ley a con c y b con c. Dados dos conjuntos, no vacíos: En el que se ha definido una ley de composición externaDado un conjunto A y una ley de composición interna:y un segundo conjunto K, que junto con A tiene una ley de composición externaDado un conjunto A y una ley de composición interna: Y un segundo conjunto K que tiene con A una ley de composición externa: Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la derecha sobre la interna si: Dado un conjunto A que tiene una ley de composición interna: Y un conjunto K que tiene con A una ley de composición externa: Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la izquierda sobre la interna cuando se cumple que: Dado uno o más conjuntos dotados de una o más leyes de composición, cada uno de esos grupos de conjuntos y sus leyes de composición son una estructura algebraica, independientemente del aspecto del conjunto y de la ley de composición.Distintos conjuntos y operaciones pueden tener una misma estructura algebraica que define las operaciones que se pueden realizar.La estructura de magma garantiza la existencia y unicidad del resultado de la operación, puesto que, cualesquiera sean, que es el resultado de operar a con b.Definamos para el anterior conjunto A una segunda ley de composición interna: del mismo modo que con la operaciónEl conjunto A junto con las dos leyes definidas se representa con la ternaElegimos este caso ya que la notación resulta favorable para la comprensión, debido a las nociones de distributividad de la aritmética.Particularmente, sólo bajo esta condición, se definen las estructuras algebraicas que se muestran en la tabla siguiente.es un anillo, puede pasar que Las estructuras algebraicas suelen estar orientadas a las operaciones con números, por lo cual el álgebra de Boole no suele incluirse en este grupo.Sin embargo, ésta define operaciones con los elementos de un conjunto y por lo tanto es una estructura algebraica.en el que se han definido dos leyes de composición interna