Cuaterna armónica

En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando Se dice que la cuaterna formada por los puntos A, B, C, y D es una cuaterna armónica, cuando la razón doble de las longitudes de los segmentos asociados a los pares de puntos AB y CD, tiene el valor −1, es decir, cuando:En esta definición, es importante remarcar que se debe tener en consideración la orientación de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=−BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda).

Propiedad fundamental: Las cuaternas armónicas se conocen al menos desde siglo II a. C..

En la época del matemático griego Apolonio, este las incluyó en la proposición 34 del libro I de las Cónicas de Apolonio,[1]​ relacionando las distancias entre: un punto exterior a una cónica; los dos puntos de corte generados en la cónica por una recta que pasa por su centro y el punto exterior dado; y la intersección con esta recta de la recta que pasa por las dos tangentes a la cónica desde el punto exterior.

En este contexto, las cuaternas armónicas tuvieron un papel relevante, por cuanto intervinieron en la definición de la relación de proyectividad: Posteriormente se demostró que las tres definiciones son equivalentes, de forma que se puede afirmar que dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónica o inarmónicamente o puede deducirse la una de la otra por proyecciones y secciones.

[3]​ En el siglo XX, siguiendo la senda abierta por Staudt, matemáticos como John Wesley Young (1879-1932)[4]​ o Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003)[5]​ completaron las definiciones existentes, dando otro enfoque a la idea de conjugado armónico a través del concepto de un cuadrángulo completo.

El punto armónico conjugado de una terna ordenada de puntos en la recta proyectiva real se puede definir mediante la siguiente construcción:[6]​ La posición del punto D no depende de qué punto se tome inicialmente como L, ni de qué línea se trace desde C para obtener M y N. Este hecho se deduce del Teorema de Desargues.

En la geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la razón doble como (A, B; C, D) =1.

A continuación, bastaría con lanzar un segmento cualquiera desde A que cortase a LD en K y a LB en N. Seguidamente, se prolonga el segmento BK hasta cortar el segmento LA en M. El corte de la recta MN con la recta AB, determina la posición del punto buscado C. Los cuatro puntos a veces se denominan un rango armónico (sobre la línea proyectiva real), ya que se verifica que D siempre divide al segmento AB internamente en la misma proporción que C divide AB externamente.

Pero para un rango armónico en particular, hay solo tres valores de la razón doble: {1, 1/2, 2}, ya que −1 es autoinverso, por lo que al intercambiar los dos últimos puntos se obtienen cada uno de estos valores, pero no se produce ningún valor nuevo, y se conoce clásicamente como proporción armónica.

En consecuencia, ambas razones simples deben ser iguales, y sus signos opuestos.

Sin embargo, lo que motiva la inclusión de un punto del infinito en la línea proyectiva.

Sus propiedades más importantes, deducidas analíticamente, son:[3]​ Las fórmulas para calcular la longitud del segmento

También se prueba fácilmente[8]​ que una secuencia de cuatro puntos alineados

Términos tales como entre, dentro, fuera, longitudes, distancias, que son típicos de un cuerpo dispuesto con una métrica, no se requieren en esta definición.

En particular, la posición armónica también se define para la línea afín/proyectiva sobre los números complejos o un campo finito.

) también es posible sobre cualquier cuerpo en el caso afín, por lo que también se conserva la relación

Si se completa la recta afín proyectiva con un punto del infinito representado por el símbolo

cuyo conjugado armónico se quiere calcular respecto al segmento

se sirve de una construcción mediante regla y compás: Si

se convierte en el punto del infinito de la recta

También se puede demostrar que una cuaterna armónica guarda una relación de inversión según la construcción anterior, partiendo de la primera condición (cuaterna armónica) y comprobando si se cumple la segunda (relación de inversión).

Para simplificar la expresión de las ecuaciones, se definen las equivalencias siguientes:

El método descrito aquí para la construcción del cuarto punto armónico es un caso especial afín de la siguiente declaración: Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad: Si P es un punto que no está en C, y si una recta variable que pasa por P se encuentra con C en los puntos A y B, entonces los distintos conjugados armónicos de P con respecto a distintas parejas de puntos A y B, se disponen en un segmento rectilíneo.

Véase el artículo recta polar para más detalles.

Estos cuatro puntos forman una cuaterna armónica (en el orden dado).

En la geometría de Galois sobre un cuerpo finito GF(q) una recta tiene q+1 puntos, donde

[11]​ Sea CD un segmento y E el punto división áurea del mismo.

Demostración: Para simplificar el cálculo del límite, se puede establecer la condición de que los términos de la serie formen una progresión geométrica, es decir, que

Por lo tanto, cada cuatro puntos consecutivos de la serie, por ser conjugados armónicos, deben cumplir la condición: En consecuencia, se obtiene el polinomio

Como en el caso anterior, sustituyendo estos términos en la expresón del límite, se tiene que: