Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es en el sistema de coordenadas
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.
Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas
, cuyos ejes son los de simetría.
Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad: es decir Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores: la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego:
Si se gira alrededor del eje Y, de vector director
, entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»: Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director
, entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»: Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene una de estas dos ecuaciones: Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma: Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección de los
Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.
En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie del hiperboloide pueden ser parametrizados de la siguiente manera:
cosh ( θ ) cos ( ϕ )
cosh ( θ ) sen ( ϕ )
sinh ( θ ) cos ( ϕ )
sinh ( θ ) sen ( ϕ )
{\displaystyle {\begin{cases}x=a\,{\sqrt {1+u^{2}}}\cos(v)\\y=b\,{\sqrt {1+u^{2}}}\operatorname {sen}(v)\\z=c\,u\\\end{cases}}\qquad {\mbox{con }}0
{\displaystyle {\begin{cases}x=a\,{\sqrt {u^{2}-1}}\cos(v)\\y=b\,{\sqrt {u^{2}-1}}\operatorname {sen}(v)\\z=c\,u\\\end{cases}}\qquad {\mbox{con }}0
y de sección transversal circular, es decir,
Su ecuación queda de la forma
El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja
La sección producida por un plano perpendicular al eje es una elipse.
La ecuación de un plano cualquiera
cuya intersección con el hiperboloide nos dará una elipse de ecuación: El caso particular dónde
la sección producida por el plano será una circunferencia.
La sección producida por un plano paralelo a su eje es una hipérbola de distintas orientaciones.
Un plano, por ejemplo, de ecuación
corta el hiperboloide según la curva de ecuación Dependiendo del valor de
se obtienen las siguientes curvas:
La sección producida por un plano inclinado respecto del eje de revolución es una elipse, de ecuación:
En las figuras se representa la sección de hiperboloides, de una y dos hojas, cortados por un plano paralelo a su eje de revolución, y por otro perpendicular.