Superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.

Ejemplos comunes de una superficie de revolución son: La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Si la curva está definida por las funciones

estará dada, entonces, por la integral

{\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({{\text{d}}x \over {\text{d}}t}\right)^{2}+\left({{\text{d}}y \over {\text{d}}t}\right)^{2}}}\,{\text{d}}t}

Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus.

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco.

2 π x ( t )

es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Asimismo, cuando el eje de rotación es el eje x y siempre que y(t) nunca sea negativo, el área viene dada por

{\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}

Si la curva está definida por la función

y = f ( x )

, la integral se transforma en

a ≤ x ≤ b

{\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y\,{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}\,{\text{d}}x=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx\qquad a\leq x\leq b}

para una curva que gira alrededor del eje "x" de las abscisas, y

para una curva definida por la función

y = f ( x )

que gira alrededor del eje "y" de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva

x ( t ) = c o s ( t )

toma valores en el intervalo

Su área, por tanto, será

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas.

Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

Por lo que la métrica es diagonal.

En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple: