Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides.Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia,recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho ejees: donde el radio menor corresponde a la superficie circular transversal.El radio mayor es el radio de la circunferencia mayor generatriz.El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia,recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.y radio mayores el radio de la circunferencia menor transversal yes el radio de la circunferencia mayor o generatriz.Sea una curva plana definida por la funciónEntonces, el área del sólido de revolución que se genera al girar la curva alrededor del eje de las{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\overline {y}}&=&{\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}}\\\\&=&{\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}{\displaystyle L}}\end{array}}}del centroide de esta curva se calcula así: Ya quees la longitud de la curva plana indicada en el denominador.Es fácil inferir que la ecuación (2) se transforma en: (3)continuas y definidas en el intervaloy que delimitan una región plana de áreadel sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje x se calcula mediante el método de los anillos, lo que da como resultado: (4)Por otra parte, para calcular la coordenadadel centroide de una región plana delimitada por las curvasse emplea esta ecuación: (5)Por tanto, la ecuación del volumen debe volver a ser escrita como: (6)Si el cálculo se refiere a la coordenadael cálculo es semejante, haciendo la salvedad de que, en este caso: (7)aunque el área se calcula como ya se indicó al principio.En caso de que se desee calcular el volumen del sólido de revolución alrededor de una recta que no tenga intersección con el área, de la formay = a x + baún se puede emplear este teorema a condición de que se calcule la distancia entre el centroide y dicha recta.
El teorema aplicado a un cilindro abierto, a un cono y a una esfera para obtener sus superficies. Los centroides están a una distancia
a
(en rojo) del eje de rotación.
Toro, sólido que se origina de la revolución de un círculo sobre un eje externo.
