Cuerno de Gabriel
El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli) es una figura geométrica que tiene la característica de poseer un área infinita pero un volumen finito.
Es la superficie de revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje X, el gráfico de la función F(x)=1/x, con dominio x ≥ 1.
Fue ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo («solide hyperbolique aigu»).
[1] El nombre se refiere a la tradición abrahámica que identifica al arcángel Gabriel como el ángel que toca la bocina para anunciar el Día del Juicio En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja.
Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie exterior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.
Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura.
Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que esta llegase hasta el «final» del cuerno.
En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito).
Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.
Pero la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos).
Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente.
En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.
Es posible plantear otra forma de respuesta al pensar en la distancia numérica presente entre dos números consecutivos: Como bien sabemos, podemos obtener infinitos decimales si dividimos infinitas veces el espacio posible acotado entre esos dos números, lo cual no significa que la distancia entre ambos sea infinita.
), y girándola en tres dimensiones alrededor del eje X.
Su descubrimiento es anterior al cálculo y fue posible gracias al principio de Cavalieri.
del cuerno entre x = 1 y x = a, donde a > 1, mediante integración (véase sólido de revolución y superficie de revolución):
puede ser tan grande como se desee, pero en la ecuación se puede observar que el volumen del cuerno entre
Empleando límites, el volumen puede expresarse de la siguiente forma: Esto es así porque conforme
No existe una cota superior para el logaritmo neperiano de
conforme tiende a infinito, lo cual quiere decir que, en este límite, el cuerno tiene un área superficial infinita.
Matemáticamente, esto es expresado de la siguiente forma:
Lo contrario al cuerno de Gabriel, una superficie de revolución que tiene un área de superficie finita pero un volumen infinito, no puede ocurrir: Sea f : [1, ∞) → [0, ∞) ser una función continuamente diferenciable.
Escriba S para el sólido de revolución de la gráfica y = f ( x ) sobre el eje x .
Como el área de superficie lateral A es finita, el límite superior : Por lo tanto, existe un t0 tal que el elemento supremo sup{ f(x) | x ≥ t0} es finito.
Por lo tanto, Finalmente, el volumen: Por lo tanto: si el área A es finita, entonces el volumen V también debe ser finito.
