Principio de Cavalieri
Nombrado en referencia al matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), se enuncia de la manera siguiente:[1] Actualmente el principio de Cavalieri se considera como un paso inicial hacia el cálculo integral, y aunque se usa en algunos casos, como su generalización en el Teorema de Fubini, los resultados que usan el principio de Cavalieri a menudo se pueden mostrar más directamente a través de la integración.
A veces, el principio es presentado de un modo más general, enunciando que si la longitud de los segmentos (o las áreas de las intersecciones con los planos) guarda cierta proporción constante, entonces el área (o el volumen) de las dos regiones guarda esa misma proporción; principio que permite, por ejemplo, calcular la fórmula para el área de una elipse conocida la fórmula para el área de un círculo.
Con respecto a teorías anteriores, el principio de Cavalieri surgió como una evolución del antiguo método de exhaustación griego, que usaba límites, pero no usaba infinitesimales.
Cavalieri desarrolló una teoría completa de los indivisibles, elaborada en su Geometria indivisibilibus continuousorum nova quadam ratione promota (Geometría, avanzada de una manera nueva por los indivisibles de los continuos, 1635) y su Exercitationes geometricae sex (Seis ejercicios geométricos, 1647).
En el siglo V, Zu Chongzhi y su hijo Zu Gengzhi establecieron un método similar para determinar el volumen de una esfera.
Mientras tanto, los infinitesimales eran entidades de la misma dimensión que la figura que componen; por lo tanto, una figura plana estaría hecha de "paralelogramos" de ancho infinitesimal.
Si se sabe que el volumen de un cono es
Dentro del cilindro está el cono cuyo vértice está en el centro de una base del cilindro y cuya base es la otra base del cilindro.
Como puede verse, el área de cada intersección del círculo con el plano horizontal ubicado a cualquier altura
es igual al área de la intersección del plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono; por lo tanto, aplicando el principio de Cavalieri, puede afirmarse que el volumen de la media esfera es igual al volumen de la parte del cilindro que está "fuera" del cono.
El volumen antes mencionado del cono es
El volumen del cilindro es (La "base" está expresada en unidades de "área", y la "altura" en unidades de "longitud".
Puede establecerse inicialmente en un solo caso dividiendo el interior de un prisma triangular en tres componentes piramidales de volúmenes iguales.
De hecho, el principio de Cavalieri o un argumento infinitesimal similar es "necesario" para calcular el volumen de conos e incluso pirámides, que es esencialmente el contenido del Tercer problema de Hilbert: las pirámides y conos poliédricos no se pueden cortar y recomponer en otro sólido estándar, y en su lugar deben ser comparados por procedimientos infinitos (infinitesimales).
Los antiguos griegos utilizaron diversas técnicas precursoras, como los argumentos mecánicos de Arquímedes o el método de exhaustación para calcular estos volúmenes.
En el denominado problema del servilletero, se demuestra por el principio de Cavalieri que cuando un agujero se perfora directamente en el centro de una esfera donde la banda resultante tiene una altura h, sorprendentemente, el volumen del material restante no depende del tamaño de la esfera.
La sección transversal del anillo es a su vez un anillo plano, cuya área es la diferencia entre las áreas de dos círculos.
Según el teorema de Pitágoras, el área de uno de los dos círculos es π veces (r 2 − y 2), donde r es el radio de la esfera e y es la distancia desde el plano del ecuador al plano de corte, y la del otro es π veces (r 2 − (h/2)2).
Cuando se restan estas dos expresiones, el r 2 se cancela; de ahí que la solución final no dependa de r. N. Reed ha demostrado[5] cómo encontrar el área delimitada por una cicloide utilizando el principio de Cavalieri.
Un círculo de radio r puede rodar en el sentido de las agujas del reloj sobre una recta situada por debajo de él, o en el sentido contrario a las agujas del reloj sobre una línea por encima de él.
La línea que los atraviesa es, por lo tanto, horizontal (es decir, paralela a las dos líneas sobre las que rueda el círculo).
En consecuencia, cada sección transversal horizontal del círculo tiene la misma longitud que la sección transversal horizontal correspondiente de la región delimitada por los dos arcos de cicloide.
Según el principio de Cavalieri, el círculo, por lo tanto, tiene la misma área que esa región.
Considérese el rectángulo que delimita un único arco de cicloide.
El nuevo rectángulo, de área dos veces más grande que el círculo, consiste en la región "lenticular" entre dos cicloides, cuya área se calculó anteriormente como la misma que la del círculo, y las dos regiones que formaron la región por encima del arco cicloide en el rectángulo original.
Una muestra de ello puede encontrarse en el ejemplo del cálculo del área comprendida entre dos curvas dadas, en el que se cumple la siguiente ecuación: Dado que el área
cumplen el principio de Cavalieri.
