Basado en escritos anteriores de Gauss,[1] Hilbert conjeturó que esto no siempre es posible.
Birkenmajer no publicó el resultado y el manuscrito original que contenía su solución fue redescubierto años después.
Gauss lamentó este defecto en dos de sus cartas a Christian Ludwig Gerling, quien demostró que dos tetraedros simétricos son equidescomponibles.
Debe tenerse en cuenta que si un poliedro se corta en dos, algunas aristas se cortan en dos y, por lo tanto, las contribuciones correspondientes a los invariantes de Dehn deben ser aditivas respecto a las longitudes de las nuevas aristas resultantes.
Todos los requisitos anteriores se pueden cumplir si se define D(P) como un elemento del producto tensorial de números reales R y el espacio cociente R/(Qπ), en el que todos los múltiplos racionales de π son cero.
A la luz del citado teorema de Dehn, podría preguntarse "¿qué poliedros son congruentemente seccionables?"
El invariante de Dehn se puede utilizar para dar una respuesta negativa también a esta pregunta más fuerte.