Invariante de Dehn
Lleva el nombre de Max Dehn, quien lo usó para resolver el tercer problema de Hilbert, que versa sobre si todos los poliedros con el mismo volumen son congruentemente diseccionables entre sí.
La condición hallada por Dehn toma la forma: Dos poliedros tienen una disección en piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar en cualquiera de ellos, si y solo si sus volúmenes y sus invariantes de Dehn son iguales.
Un poliedro se puede cortar y volver a ensamblar para teselar el espacio tridimensional si y solo si su invariante de Dehn es cero, por lo que tener el invariante de Dehn cero es una condición necesaria para ser un poliedro que rellena el espacio.
En particular, el octaedro truncado también rellena el espacio y tiene un invariante de Dehn cero como el cubo.
Aunque Dehn formuló su invariante de manera diferente, el enfoque moderno es describirlo como un valor en un producto tensorial, siguiendo a Jessen (1968).
Más comúnmente, se aplica a los poliedros cuyos límites son variedades, incrustados en un número finito de planos en el espacio euclídeo.
Sin embargo, el invariante de Dehn también se ha considerado para poliedros en geometría esférica o en el espacio hiperbólico,[1] y para ciertos poliedros autocruzados en el espacio euclídeo.
,[7] pero esto no significa ninguna diferencia en el producto tensorial resultante, ya que cualquier múltiplo racional de π en el factor correcto se convierte en cero en el producto.
sea el resto de la base con este elemento excluido, entonces el producto tensorial
El invariante de Dehn se puede expresar descomponiendo cada ángulo diedro
sea un múltiplo racional de π que pertenece a
, para omitir el término correspondiente a los múltiplos racionales de π.
[9] Esta formulación alternativa muestra que a los valores del invariante de Dehn se les puede dar la estructura adicional de un espacio vectorial real.
Para un poliedro ideal en un espacio hiperbólico, las longitudes de las aristas son infinitas, lo que hace que la definición habitual del invariante de Dehn sea inaplicable.
El ángulo del cubo, π/2, es el elemento base que se descarta en la fórmula para el invariante Dehn, por lo que el invariante de Dehn del cubo es cero.
No importa cómo se escalen por diferentes longitudes de borde, el tetraedro, icosaedro y dodecaedro tienen invariantes de Dehn que forman vectores que apuntan en diferentes direcciones y, por lo tanto, son desiguales y distintos de cero.
Por lo tanto, si es posible diseccionar un poliedro P en un poliedro diferente Q, entonces tanto P como Q deben tener el mismo invariante de Dehn y el mismo volumen.
En ambas geometrías, dos poliedros que se pueden cortar y volver a ensamblar entre sí deben tener el mismo invariante de Dehn.
Sin embargo, como observó Jessen, la extensión del resultado de Sydler a la geometría esférica o hiperbólica permanece abierta: no se sabe si dos poliedros esféricos o hiperbólicos con el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn siempre se pueden cortar y ensamblar entre sí.
Cada mosaico que llena el espacio tiene un invariante de Dehn cero, como el cubo.
[18][19] Lo contrario a esta afirmación no es cierto: existen poliedros con invariante de Dehn cero que no teselan el espacio, pero siempre se pueden diseccionar en otra forma (el cubo) que sí lo hace.
es el subgrupo generado en este grupo por los prismas triangulares, y se usa aquí para representar el volumen (ya que cada número real es el volumen de exactamente un elemento de este grupo).
Según el teorema de Sydler, tales poliedros no existen.
que aparece a la derecha de la secuencia exacta es isomorfo al grupo
[22] De manera análoga, en el espacio hiperbólico o esférico, los invariantes de Dehn realizables no forman necesariamente un espacio vectorial, porque la multiplicación escalar ya no es posible, pero todavía forman un subgrupo.
Un invariante para este tipo de disección usa el producto tensorial
El invariante para cualquier polígono dado se calcula cortando el polígono en rectángulos, tomando el producto tensorial de la altura y el ancho de cada rectángulo y sumando los resultados.
Ha sido probado para todos los poliedros flexibles que no se entrecruzan a sí mismos.
Por lo tanto (para poliedros sin ángulos racionales) es una función lineal del invariante de Dehn, aunque no proporciona información completa sobre el propio invariante de Dehn.
Se ha demostrado que permanece constante para cualquier poliedro flexible.
