Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 (originalmente 21) hipótesis propuestas por David Hilbert en 1899 como el fundamento para un tratamiento moderno de la geometría euclídea.
Otras axiomatizaciones modernas bien conocidas de la geometría euclídea son las debidas a Alfred Tarski y a George Birkhoff.
El sistema axiomático de Hilbert se compone de seis nociones primitivas: Tres términos primitivos: y tres relaciones primitivas: Nótese que los segmentos y los ángulos (así como también los triángulos) no son nociones primitivas, sino que se definen en términos de puntos y rectas utilizando las relaciones de orden y pertenencia.
Todos los puntos, rectas y planos en los subsecuentes axiomas son distintos salvo que se indique lo contrario.
Estos dos son los extremos del segmento.
, disjuntos entre sí, que emanan de
, tales que su unión constituye toda la recta a excepción de
, donde de nuevo su unión constituye todo el plano a excepción de
Se define un ángulo como una pareja de semirrectas
que emanan del mismo punto
son los lados del ángulo y
El segmento entre dos puntos cualesquiera del interior está contenido por completo en dicha región.
Esto no se cumple para una pareja de puntos cualesquiera en el exterior.
Un triángulo queda definido por tres segmentos de la forma
Dichos segmentos son los lados del triángulo, y los tres puntos
El triángulo divide el plano definido por sus tres vértices en interior y exterior, con las mismas propiedades que en caso de los ángulos.
Al ángulo definido por las dos semirrectas que salen de
Al sistema de puntos, rectas y planos, no pueden añadirse otros elementos de manera que el sistema resultante forme una geometría nueva, obedeciendo todos los axiomas de los cinco grupos.
En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, tomando los cinco grupos de axiomas como válidos.
Hilbert introdujo un axioma más que reza: Esta proposición calificada como teorema fue considerada como axioma en la primera edición, pero E.H Moore en Transactions of the American Mathematical Society (1902)[2] la dedujo como consecuencia de los axiomas de combinación y orden establecidos, demostrando su redundancia.