En un sentido moderno, se le llama arquimediano a estructuras matemáticas cuyos elementos verifican una propiedad análoga al axioma de Arquímedes.Del libro V de los Elementos de Euclides: Las magnitudes se dice que guardan una razón entre ellas si, multiplicadas, estas magnitudes pueden excederse mutuamente.El axioma se aplica a longitudes, áreas, volúmenes, ángulos rectos.Esta propiedad es utilizada en el libro V para definir la noción de proporción entre magnitudes.Permite demostrar la proposición 1 del libro X, que es frecuentemente utilizada en el método de exhausción: Dadas dos magnitudes desiguales, si se corta de la mayor una parte más grande que su mitad, si se corta del resto una parte más grande que su mitad, y si se continúa de este modo sucesivamente, quedará una magnitud que será más pequeña que la menor de las dos magnitudes dadas [originalmente].El matemático alemán David Hilbert expone, en sus fundamentos de la geometría (1899), una formulación moderna del axioma de Arquímedes, que es el primer axioma de continuidad (axioma V.1): Sean dos segmentos AB y CD tales que C es diferente de D. Entonces existe un entero n, y n puntos A1, ..., An de la recta que contiene al segmento AB, tales que Aj se sitúa entre Aj-1 y Aj+1 si 2 ≤ j < n - 1, AjAj+1 es congruente a CD si 1≤ j En álgebra abstracta y análisis, la propiedad arquimediana es una propiedad que poseen ciertas estructuras algebraicas, como por ejemplo algunos grupos o cuerpos ordenados o normados.Una estructura algebraica en la cual dos elementos no-nulos son comparables, en el sentido que ninguno de ellos es infinitesimal con respecto al otro, se dice que es arquimediano.Inversamente, una estructura que contenga dos elementos no-nulos, uno de los cuales es infinitesimal con respecto al otro, se llama no-arquimediano.(G,+,≤) verifica el axioma de Arquímedes (o es arquimediano) si y solo si: para cualesquiera elementos a > 0 y b ≥ 0 de G, existe un número natural n tal que n × a ≥ b.que son una compleción del cuerpo de los números racionales
