En álgebra abstracta, un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base en el sentido de que cada elemento del grupo se puede escribir de manera unívoca como combinación lineal de los elementos de la base, con coeficientes enteros.
Por lo tanto, un grupo abeliano libre sobre una base B también se conoce como un conjunto de sumas formales sobre B.
Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los asemejan a los espacios vectoriales y permiten que un grupo abeliano en general se entiende como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones".
Cada grupo abeliano libre tiene un rango definido como la cardinalidad de una base.
Por ejemplo, sea G el grupo que es la suma directa
de dos copias del grupo cíclico infinito
, entonces podemos escribir (4,3), como A diferencia de lo que ocurre con los espacios vectoriales, no todos los grupos abelianos tienen una base (de ahí el nombre especial para los que lo si la tienen).
Por ejemplo, ningún grupo con elementos (no triviales) periódicos puede ser abeliano libre, ya que dichos elementos pueden ser expresados en un número infinito de formas, simplemente mediante el establecimiento de un número arbitrario de ciclos construidos a partir de la periodicidad.
Cualquier otro grupo abeliano no es un grupo libre, porque, en grupos libres, el elemento ab debe ser diferente del ba si a y b son elementos diferentes de la base, mientras que deben ser idénticos en grupos abelianos libres.
Es importante destacar que todo subgrupo de un grupo abeliano libre es libre abeliano (ver más abajo).
Como consecuencia, para cada grupo abeliano A existe una sucesión exacta corta donde F y G grupos abelianos libres (lo que significa que A es isomorfo al grupo cociente F /G).
Por otra parte, los grupos abelianos libres son, precisamente, los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos.
[1] Puede ser sorprendentemente difícil determinar si un grupo concreto dado es abeliano libre.
Considere por ejemplo el grupo de Baer-Specker
Reinhold Baer demostró en 1937 que este grupo no es abeliano libre; Specker demostró en 1950 que cada subgrupo numerable de
Cada grupo abeliano libre finitamente generado es isomorfo a
para algún número natural n, denominado rango del grupo abeliano libre.
En general, un grupo abeliano libre F puede tener muchas bases diferentes, pero todas ellas tienen el mismo cardinal, y a esta cardinalidad se le llama rango de F. Este rango de grupos abelianos libres se pueden utilizar para definir el rango de un grupo abeliano en general.
Las relaciones entre las diferentes bases pueden ser interesantes, por ejemplo, las diferentes posibilidades para elegir una base para el grupo abeliano libre de rango dos se examinan en el artículo sobre el par fundamental de períodos.
Una suma formal de elementos de un conjunto dado B es un elemento del grupo abeliano libre con base B.
En otras palabras, dado un conjunto B, sea G el único grupo abeliano libre con base B (salvo isomorfismo).
Esto es similar al teorema de Nielsen-Schreier que dice que un subgrupo de un grupo libre es libre.
el grupo abeliano libre generado por el conjunto
En primer lugar vamos a probar esto para
( que es no trivial y claramente es abeliano libre.
Supongamos que si un grupo es generado por un conjunto de cardinalidad
Por lo tanto podemos suponer que el rango no es trivial.
es una aplicación inyectiva de tal manera que
y por lo tanto el grupo libre generado por
{\displaystyle (G_{J},w),(G_{K},u)\in S}