Módulo proyectivo

Podemos resumir esta propiedad de elevación como sigue: un módulo P es proyectivo si y solamente si para cualquier homomorfismo de módulos sobreyectivo f: N → M y cada homomorfismo de módulos g: P → M, existe un homomorfismo h: P → N tal que fh = g. (no requerimos que el homomorfismo de elevación h sea único; esta no es una propiedad universal.)

La existencia de tal sección h implica que P es un sumando directo de M y que f es esencialmente una proyección en el sumando P. Una motivación básica de la teoría es que los módulos proyectivos (por lo menos sobre ciertos anillos conmutativos) son análogos a los fibrados vectoriales.

Si hay una cierta noción de "localización" que se pueda transportar a los módulos, por ejemplo la que se da en la localización de un anillo, se pueden definir módulos localmente libres, y los módulos proyectivos entonces coinciden típicamente con los localmente libres.

Específicamente, un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo es localmente libre si y sólo si es proyectivo.

Esto es fácil de probar para los módulos proyectivos finitamente generados, pero el caso general es difícil.