Módulo plano
En álgebra conmutativa, y geometría algebraica, un módulo plano sobre un anillo R es un R-módulo M tal que se preserva sucesiones exactas al tomar el producto tensorial sobre R con M. Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial se produce una sucesión exacta si y sólo si la sucesión original es exacta.
Los espacios vectoriales sobre un campo son módulos planos.
Los módulos libres, o más generalmente los módulos proyectivos, son planos sobre cualquier R. Para módulos finitamente generados sobre un anillo local noetheriano, las propiedades de ser proyectivos, planos y libres son equivalentes.
Existen muchas maneras para definir a los módulos planos sobre un anillo conmutativo R.
es exacto, donde Mod(R) es la categoría de los R-módulos.
Cuando R no es un anillo conmutativo la definición cambia ligeramente.
es exacto, donde Ab es la categoría de grupos abelianos.
Tomar el producto tensorial (sobre anillos arbitrarios) siempre es un funtor exacto izquierdo.
Por lo tanto, el R-módulo M es plano si y sólo si para cualquier morfismo inyectivo de R-módulos, el morfismo inducido también es inyectivo.
Cuando R es noetheriano y M es un R-módulo finitamente generado, ser plano es lo mismo que ser localmente libre.
Esto es M es plano si y sólo si para todo ideal primo (o incluso solo para todo ideal máximo) P de R, la localización es libre como un módulo sobre la localización
, entonces S tiene una estructura de R-módulo, por lo que tiene sentido preguntar si S es plano sobre R. De ser este el caso, S es fielmente libre sobre R si y sólo si todo ideal primo de R es la imagen inversa bajo f de un ideal primo en S. En otras palabras, si y solo si el morfismo inducido
En general los submódulo y los módulos cociente no tienen que ser planos.
Sin embargo se tiene el siguiente resultado: la imagen de un módulo plano M bajo un homomorfismo es plano si y sólo si el núcleo es un submódulo puro de M. D.Lazard probó en 1969 que un módulo M es plano si y sólo si es el límite directo de módulos libres finitamente generados.
Como consecuencia, se puede deducir que todo módulo finitamente presentado es proyectivo.
Un grupo abeliano es plano (visto como un Z-módulo) si y sólo si es libre de torsión.
La propiedad de ser plano se puede expresar usando los funtores Tor, que son los funtores derivados izquierdos del producto tensorial.
Un R-módulo izquierdo es plano si y sólo si TornR(–, M) = 0 para todo
si y sólo si TornR(X, M) = 0 para todo
Si se usa la sucesión exacta larga del funtor Tor, se pueden demostrar hechos a cerca de una sucesión exacta corta Si A y B son planos, no es cierto que esto implique que C es plano.
Las resoluciones planas se usan para calcular el funtor Tor.
Estas ideas surgieron inspiradas por el trabajo de Auslander sobre aproximaciones.
Estas ideas se parecen a la noción más común de resolución proyectiva mínima, donde se pide que cada morfismo sea una cubierta proyectiva del núcleo del morfismo de la derecha.
Sin embargo, las cubiertas proyectivas no siempre existen, por lo que el uso de las resoluciones proyectivas está restringido a los módulos sobre anillos perfectos.
Esta materia es tratada en el clásico de MacLane (1963) o en trabajos más recientes que se enfocan en las resoluciones planas como Enochs & Jenda (2000).
Por ejemplo, el hecho de que todo módulo libre es proyectivo es equivalente al axioma de elección, por lo que los teoremas acerca de módulos proyectivos, incluso habiendo sido demostrados de manera constructiva, no se aplican a los módulos libres.
Por otro lado, no es necesario el axioma de elección para probar que todo módulo libre es plano, por lo que los teoremas para módulos planos se siguen aplicando a estos.
