Los ideales generalizan, de manera fecunda, el estudio de la divisibilidad entre los números enteros hacia otros objetos matemáticos.
[1] La teoría de los ideales es relativamente reciente, puesto que fue creada por el matemático alemán, Richard Dedekind, a fines del siglo XIX.
En dicha época, una parte de la comunidad matemática se interesó en los números algebraicos y, más concretamente, en los enteros algebraicos.
La cuestión consiste en saber si los enteros algebraicos se comportan como los enteros relativos, particularmente, en lo que respecta a su descomposición en factores primos.
Parecía claro, desde el comienzo del siglo XIX que este no era siempre el caso.
Ernst Kummer señaló entonces que la cuestión anterior va a depender de los números en cuestión, e inventó la noción de complejos ideales.
La idea es hacer que sea única la descomposición en factores primos añadiendo artificialmente otros números (del mismo modo que se añade i a los números reales siendo
Para el ejemplo de más arriba, se van a "inventar" cuatro números "ideales" a, b, c y d tales que: Así, 6 se descompondrá de manera única en: Dedekind en 1871 vuelve a usar la noción de número ideal de Kummer y crea la noción de ideal en un anillo.
Se interesa principalmente por los anillos de los enteros algebraicos, es decir, anillos conmutativos unitarios e íntegros.
En este dominio se encuentran los resultados más interesantes sobre los ideales.
Creó el conjunto de los ideales de un anillo conmutativo, unitario e íntegro para operaciones semejantes a la adición y a la multiplicación de los enteros relativos.
un elemento cualquiera y veamos que
es invertible y, por la propiedad anterior, concluimos que
Por un argumento análogo al anterior, tenemos que
Si I y J son dos ideales de un anillo A, entonces se puede comprobar que el conjunto
Para comprobar que el aserto es correcto, debemos comprobar en primer lugar que I+J es subgrupo del grupo aditivo de A, i.e.,
Se puede comprobar que: Ejemplos: Si I y J son dos ideales de un anillo, se llama producto de I y J al ideal
constituido por todos los elementos de la forma xy donde x pertenece a I e y pertenece a J. Se tiene que
y este último está incluido en
Si I es un ideal bilátero del anillo A, la relación
es una relación de equivalencia compatible con las dos leyes del anillo.
Se puede crear entonces, sobre el conjunto de las clases
Cabe tomar como elementos de A/I las clases adjuntas a + I( llamadas «clases de restos respecto al módulo del ideal I»).
Como producto de clases (a+I) ׺ (b+I)= ab + I.
Ideal primario: en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es primario si y solo si para todo a y b tales que
entonces existe un entero natural n tal que
Ideal irreducible : en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es irreducible si no se puede escribir como intersección de dos ideales J y K diferentes de I.
existen exactamente dos ideales que contienen a
Radical de un ideal: Si I es un ideal de un anillo conmutativo A, se llama radical de I, y se escribe
, al conjunto de los elementos x de A tales que existe un entero natural n para el cual