un subconjunto de
es el mínimo ideal de
tal que
, se dice que
es el generador del ideal
o, equivalentemente, que
es un ideal de
El ideal de
generado por el subconjunto
se denota comúnmente por
es un conjunto finito, digamos
, se dice que el ideal
es finitamente generado y se representa comúnmente por
contiene un solo elemento), se dice que
es un ideal principal de
Si A es un dominio tal que todos sus ideales son finitamente generados, entonces A es un anillo noetheriano, y recíprocamente.
En particular, un anillo noetheriano cuyos ideales son todos principales se dice dominio de ideales principales (DIP).
de un dominio
, pues siempre existe por lo menos un ideal que contiene a
El ideal de
, puede obtenerse explícitamente considerando que la intersección de cualquier familia de ideales es un ideal, y que, en particular, es el menor de todos ellos.
es un ideal tal que
son subconjuntos de
tales que
Un hecho que se deduce a partir de la definición de un ideal generado y de la de un ideal cualquiera es que (2)
{\displaystyle (X)=\{a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}|\;a_{i}\in A\ {\mbox{y}}\ x_{i}\in X\;\forall i\in \{1,\dots ,n\}\;n\in \mathbb {N} \}}
, por lo que todo elemento de un ideal generado es una combinación lineal de los elementos de
, y se tiene así una forma de poner un ideal generado en términos de sus elementos.
La ecuación (1) y la ecuación (2) pueden considerarse como definiciones equivalentes de ideal generado, aunque generalmente se usa (1) y de ahí se deduce fácilmente (2).