En teoría de anillos no conmutativa, un ideal maximal por la derecha está definido análogamente como un elemento maximal en el conjunto parcialmente ordenado de ideales propios por la derecha, y, similarmente, un ideal maximal por la izquierda está definido como un elemento maximal en el conjunto parcialmente ordenado de ideales propios por la izquierda.
Ya que un ideal maximal A no es necesariamente bilátero, el cociente R/A no es necesariamente un anillo, sino un módulo simple sobre R. Si R tiene un maximal ideal por la derecha único, entonces R se conoce como un anillo local, y el ideal maximal por la derecha es también el único ideal maximal por la izquierda y maximal bilátero del anillo, y es de hecho el radical de Jacobson J(R).
Dado un anillo R y un ideal propio I de R (es decir, I ≠ R), I es un ideal maximal de R si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: Hay una lista análoga para ideales uniláteros, para los cuales solo se muestran las versiones para ideales por la derecha.
Para un ideal A de un anillo R, las siguientes condiciones son equivalentes a que A sea un ideal maximal por la derecha de R: Los ideales maximales son la noción dual de la de ideales minimales.
Esto significa, por definición de ideal generado, que existe
difieren por el producto por una unidad y, por tanto (ver aquí, usando que
es un dominio de ideales principales, luego íntegro),
, pero esto es una contradicción, pues estábamos suponiendo que
es una unidad, y esto significa (ver aquí) que
Sin embargo, como se ha mencionado arriba, los módulos no nulos finitamente generados, así como los módulos proyectivos tienen submódulos maximales.
Como con los anillos, se puede definir el radical de un módulo utilizando submódulos maximales.
demás, los ideales maximales pueden generalizarse definiendo un subbimódulo M de un bimódulo B como un subbimódulo propio de M que no está contenido en ningún otro subbimódulo propio de M. Así, los ideales maximales de R son precisamente los subbimódulos maximales del bimódulo RRR.