El Nullstellensatz de Hilbert (en alemán: "teorema de los lugares de los ceros de Hilbert") es un teorema en geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados.
Fue probado inicialmente por David Hilbert en su artículo sobre teoría de invariantes publicado en 1893.
un cuerpo algebraicamente cerrado (como el de los números complejos).
Considere el anillo de polinomios
{\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}
y sea
un ideal en este anillo.
El conjunto algebraico
{\displaystyle V(I)}
definido por este ideal consiste de todas las n-tuplas
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}
tal que
El teorema de los ceros de Hilbert nos dice que si
{\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}
que se anula en la variedad
, entonces existe un número natural
tal que
Un corolario inmediato es el Nullstellensatz débil: El ideal
si y solo si los polinomios en
no tienen ceros en común en
no puede ser vacío.
Esta es la razón para el nombre del teorema; que es fácilmente demostrable a partir de esta forma "débil" usando el truco de Rabinowitsch.
La suposición de que
es algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo el ideal propio
no tiene un cero común en
Con la notación común de la geometría algebraica, el Nullstellensatz puede ser también formulado como Aquí,
denota el radical de
denota el ideal de todos los polinomios que se anulan en el conjunto
De este modo, obtenemos una correspondencia biyectiva que revierte el orden entre las variedades afines en
y los ideales radicales de