Un módulo sobre un anillo es una generalización de la noción de espacio vectorial sobre un cuerpo, donde los correspondientes escalares son los elementos un anillo (con identidad) arbitrario y donde está definida una multiplicación (a la izquierda y/o a la derecha) entre elementos del anillo y elementos del módulo.
Al igual que un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo, y la multiplicación escalar es distributiva sobre la operación de suma entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación anular.
En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un cuerpo y actúa sobre los vectores por multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva.
En álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos cocientes son módulos, de modo que muchos argumentos sobre ideales o anillos cocientes pueden combinarse en un único argumento sobre módulos.
Sin embargo, los módulos pueden ser bastante más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base, e incluso los que la tienen, módulo libre, no necesitan tener un rank único si el anillo subyacente no satisface la condición de número de base invariante, a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen una base (posiblemente infinita) cuya cardinalidad es entonces única.
(Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elección en general, pero no en el caso de espacios finito-dimensionales, o ciertos espacios infinito-dimensionales bien comportados como Lps).
Algunos autores[cita requerida] omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes "módulos izquierdos unitales".
se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir se tiene una multiplicación escalar de la forma
, y los tres axiomas antedichos se escriben con los escalares
Si M y N son R - módulos, entonces una función f: M → N es un homomorfismo de R - módulos si, para cualquier m, n en M y r, s en R, Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es precisamente una función que preserva la estructura de los objetos.
Dos módulos isomorfos son idénticos para todos los propósitos prácticos, diferenciándose solamente en la notación para sus elementos.
Los R-módulos izquierdos, junto con sus homomorfismos de módulo, forman una categoría, escrita como RMod.
Dos módulos isomorfos son idénticos a todos los efectos prácticos, diferenciándose únicamente en la notación de sus elementos.
Algunas propiedades destacadas en la teoría de módulos dan nombre a los siguientes tipos de módulos: Si M es un R-módulo izquierdo, entonces la acción de un elemento r en R se define como la función M → M que envía cada x al rx (o al xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano (M, +).
Tal del homorfismo R del anillo → EndZ(M) se llama una representación de R en el grupo abeliano M; una manera alternativa y equivalente de definir R-módulos izquierdos es decir que un R-módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R en él.
Si M es un módulo izquierdo de R, entonces la acción de un elemento r en R se define como el mapa M → M que envía cada x a rx (o xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano (M, +).
Tal representación R → EndZ(M) también puede llamarse una acción de anillo de R sobre M. Una representación se llama fiel si y sólo si el mapa R → EndZ(M) es inyectivo.
Cualquier anillo R se puede ver como categoría preaditiva con un solo objeto.
Con esta comprensión, un R-módulo izquierdo es un funtor aditivo (covariante) de R a la categoría Ab grupos abelianos.
Esto sugiere que, si C es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab sea considerado un módulo izquierdo generalizado sobre C; estos funtores forman una categoría de funtores C-Mod que es la generalización natural de la categoría de módulos R-Mod.