En algunos casos, estas estructuras podrían no parecer relacionadas a nivel superficial o intuitivo, haciendo el concepto poderoso, pues crea la oportunidad de traducir teoremas entre distintos tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que el significado de esos teoremas se preservará tras la traducción.
Sin embargo, en contraste con la condición de isomorfismo para un plantemaiento algebraico, la composición del funtor y su inverso no resulta necesariamente en la identidad.
En su lugar, es suficiente con que cada objeto sea un isomorfismo natural para su imagen.
Por ello podrían definirse los funtores como "inversos hasta el isomorfismo".
, asignando cada objeto y morfismo a sí mismo.
Tales datos generalmente no se especficifican.
es una equivalencia de categorías si existe un funtor
y los isomorfismos naturales, pues podría haber multitud de alternativas (consultar ejemplos más abajo).
Un funtor F : C → D da una equivalencia de categorías si y sólo si es simultáneamente: Este es un criterio bastante útil y de aplicación común, ya que no es necesario construir explícitamente la G "inversa" y los isomorfismos naturales entre FG, GF y los funtores identidad.
Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (dada una versión suficientemente fuerte del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente), la información que falta no está completamente especificada, y a menudo hay muchas opciones.
Debido a esta circunstancia, un funtor con estas propiedades es a veces llamado una equivalencia de categorías débil (desafortunadamente esto entra en conflicto con la terminología de la teoría de tipos homotópica).
Existe también una estrecha relación con el concepto de funtores adjuntos.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes para los funtores F : C → D y G : D → C: Por lo tanto, se puede considerar una relación de contigüidad entre dos funtores como una forma muy débil de equivalencia.
Asumiendo que se dan las transformaciones naturales para los complementos, todas estas formulaciones permiten una construcción explícita de los datos necesarios, y no se necesitan principios de elección.
Si F : C → D es una equivalencia, entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: Las dualidades transforman todos los conceptos: convierten los objetos iniciales en objetos terminales, los monomorfismos en epimorfismos, los núcleos en conúcleos, los límites en colímites, etc.
Si F : C → D es una equivalencia de categorías, y si C es una categoría abeliana, entonces D puede convertirse en una categoría abeliana de tal manera que F se convierte en un funtor aditivo.
(Tenga en cuenta que esta última afirmación no es válida para las equivalencias entre las categorías abelianas).
Una autoequivalencia de una categoría C es una equivalencia F : C → C. Las autoequivalencias de C forman un grupo bajo composición si consideramos que dos auto-equivalencias que son naturalmente isomorfas son idénticas.