Producto (teoría de categorías)
En teoría de categorías, el producto de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como producto cartesiano de conjuntos, el producto directo de grupos, producto directo de anillos, el producto de espacios topológicos entre otros.
Esencialmente el producto de una familia de objetos es el "más general" de los objetos que admite morfismos a cada uno de los objetos dados.
si y solo si satisface la siguiente propiedad universal El único morfismo
y se denota por
Se acaba de definir el producto binario.
En lugar de dos objetos considere una familia arbitraria de objetos indicada por algún conjunto
Entonces obtenemos la definición de un producto.
es el producto de una familia
de objetos si y solo si existen morfismos
, tal que para cualquier otro objeto
y una familia de morfismos
existe un único morfismo
tal que el siguiente diagrama conmuta para cualquier
El producto se denota como
y el morfismo producto como
De forma alterna, el producto puede ser definido totalmente mediante ecuaciones, aquí esta un ejemplo para el producto binario: También el producto puede ser obtenido a partir del límite.
Una familia de objetos es un diagrama sin morfismos.
Entonces la definición de producto coincide con la definición de cono límite para este funtor.
Dada una familia de conjuntos Xi el producto es definido como con las proyecciones Dado cualquier otro conjunto Y con una familia de funciones :
la flecha universal f se define como El producto no necesariamente existe; por ejemplo considere una familia infinita de espacios métricos como
, no existe tal cosa como el producto métrico de ellos.
Una categoría en donde para cualquier conjunto finito de objetos existe su producto entonces es llamada categoría cartesiana Supongamos que
es una categoría cartesiana y
denota el objeto final de la categoría
Entonces tenemos los siguientes isomorfismos naturales.
Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene productos finitos forma una categoría simétrica monoidal En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×Z → X×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama: La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×Z → X×(Y+Z),.
Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo
