La categoría de grupos es completa y cocompleta.
El objeto cero de la categoría es el grupo trivial (el grupo que consiste solo del elemento neutro).
Todo morfismo f : G → H en Grp tiene núcleo que es el grupo ker f = {x en G | f(x) = e}) con la función inclusión y tiene conúcleo que es el grupo cociente de H por la cerradura normal de f(H) in H).
A diferencia que en una categoría abeliana no es cierto que todo monomorfosmo en Grp es el núcleo de su conúcleo.
La noción de sucesión exacta es significativa en Grp y algunos resultados de la teoría de categorías abelianas siguen siendo verdaderos en Grp como el lema del noveno, el lema del quinto y sus consecuencias siguen siendo verdaderas en Grp, sin embargo el lema de la serpiente no es cierto.