Coproducto (teoría de categorías)

El coproducto es la noción dual del producto categórico, esto es, la definición de coproducto es la misma que la de producto, solo que con las flechas invertidas.

llamadas inyecciones canónicas, tal que para cualquier otro objeto

indicados por J existe un único morfismo f de X a Y tal que fj = f ∘ ij.

Esto es, el siguiente diagrama conmuta para cualquier

por para indicar la dependencia de los morfismos fj.

Si la familia de objetos consiste de solo dos objetos el coproducto es usualmente denotado por X1 ∐ X2 o X1 ⊕ X2 y el diagrama toma la siguiente forma: En este caso f es denotada por f1 ∐ f2 or f1 ⊕ f2.

si J es finito digamos J = {1,...,n} entonces el coproducto de los objetos X1,...,Xn se suele denotar por X1⊕...⊕Xn.

El coproducto en una categoría C puede ser definido como el colímite de cualquier funtor de una categoría discreta J en C. En general el coproducto de cualquier familia {Xj} no necesariamente existe, pero si existe entonces es único salvo un único isomorfismo, esto es si ij : Xj → X y kj : Xj → Y son dos coproductos de la familia {Xj}, entonces (por la definición de coproducto) existe un único isomorfismo f : X → Y tal que fij = kj  para cualquier j en J. Sea Hom(A,B) el conjunto de morfismo de A en B en una categoría C entonces tenemos un isomorfismo natural Este isomorfismo se debe a que el funtor Hom(_,A):Cop → Con preserva límites para cualquier objeto A. y el coproducto de una familia de objetos es un límite en la categoría opuesta Cop.

Sea C una categoría en el cual para cualquier conjunto finito de objetos ' el coproducto existe.

y 0 denota el objeto inicial de la categoría entonces tenemos los siguientes isomorfismos: Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene coproductos finitos forma una categoría simétrica monoidal.

En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×Z → X×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama: La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×Z → X×(Y+Z),.

Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo