Dado que existen distintos tipos de anillos, hay que particularizar la definición.
Se dirá que la aplicación
es un homomorfismo de anillos si se cumplen las siguientes dos condiciones: La primera condición nos dice que
Con esta definición se ve que la imagen de
{\displaystyle \operatorname {im} (f)=f(R)}
Se define el núcleo de f como el conjunto
ker ( f ) := { r ∈
El núcleo de cualquier homomorfismo es un ideal (bilátero).
son anillos unitarios (cuyos elementos unidades son respectivamente
se dirá que es un homomorfismo de anillos unitarios si es un homomorfismo de anillos y además se cumple que
{\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}
El resto de conceptos definidos en el apartado Caso general son válidos sin modificar nada para anillos unitarios.
Se dice que
es un monomorfismo si es una aplicación inyectiva, es decir,
{\displaystyle f(a)=f(b)}
, cualesquiera que sean
Esto es equivalente a decir que
Se dice que
es un epimorfismo si es una aplicación sobreyectiva, es decir,
No obstante, muchos autores prefieren no utilizar esta denominación, y hablar sólo de homomorfismos sobreyectivos (u homomorfismos exhaustivos).
La razón es que el término epimorfismo tiene un significado más general en Teoría de Categorías.
Desde este punto de vista (categórico), un epimorfismo de anillos no es necesariamente una aplicación sobreyectiva, aunque todos los homomorfismos de anillos sobreyectivos sí resultan ser epimorfismos.
es un isomorfismo si existe el homomorfismo inverso
Esto ocurre si y sólo
si es una aplicación biyectiva, es decir,
, es a la vez monomorfismo y homomorfismo exhaustivo.