Trilateración

Empezamos con tres esferas, y Restamos la segunda a la primera y resolvemos para x: Al sustituir esto en la fórmula de la primera esfera se produce la fórmula de un círculo, la solución a la intersección de las dos primeras esferas: Igualando esta fórmula a la fórmula de la tercera esfera, tenemos: Ahora que tenemos las coordenadas x e y del punto solución, podemos simplemente despejar z de la fórmula de la primera esfera: Ahora tenemos la solución para los tres puntos x, y y z. Ya que z se expresa en forma de raíz cuadrada, es posible que el problema tenga por solución cero, uno o dos resultados.

Si ese círculo toca la esfera en exactamente un punto, z es igual a cero.

Si sabemos que la distancia desde P a un punto de referencia cae en un rango (un intervalo cerrado) [r1, r2], entonces sabemos que P cae en una banda circular entre los círculos con esos dos radios.

Si conocemos un rango para otro punto, podemos tomar la intersección, que constituirá una o dos áreas delimitadas por arcos circulares.

Un tercer punto normalmente la estrechará a una sola área, pero esta área puede ser aún de tamaño significativo; puntos de referencia adicionales pueden ayudar a disminuirla aún más, pero a medida que esta disminuye más medidas perderán utilidad.