Número imaginario
En matemáticas, un número imaginario es un número imaginario puro (número complejo con parte real igual a cero).
En general un número imaginario es de la forma
Originalmente la denominación fue acuñada en el siglo XVII por René Descartes[1] como término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó amplia aceptación tras los trabajos de Leonhard Euler (en el siglo XVIII) y Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss (a principios del siglo XIX).
puede sumarse a un número real a para formar un número complejo de la forma
sería la parte real del número complejo, y
la parte imaginaria del número complejo.
Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria
es un número que al elevarse al cuadrado da como resultado -1, es decir: Aunque el matemático e ingeniero griego Herón de Alejandría es señalado como el primero en presentar un cálculo que implicaba la raíz cuadrada de un número negativo,[2][3] fue Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano del siglo XVI quien estableció por primera vez las reglas para la multiplicación de números complejos en 1572.
[cita requerida] El concepto había aparecido impreso con anterioridad, por ejemplo en la obra de Gerolamo Cardano.
En aquella época, los números imaginarios y negativos no se comprendían bien y algunos los consideraban ficticios o inútiles, como en su día lo fue el cero.
Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de los números imaginarios, entre ellos René Descartes, que escribió sobre ellos en su tratado La Géométrie en el que acuñó el término imaginario con intención despectiva.
[4][5][6] El uso de los números imaginarios no fue ampliamente aceptado sino hasta los trabajos de Leonhard Euler (1707–1783) y Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descrito por primera vez por Caspar Wessel (1745–1818).
Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a
el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva, dando a entender que no tenía una existencia real.
Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, se refirió a
En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria a menudo se indica con j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i. Geométricamente, los números imaginarios se representan en el eje vertical del plano complejo y por tanto perpendicular al eje real que es horizontal, el único elemento que comparten es el cero, ya que
En esta representación se tiene que: En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.
(mod representa el residuo) Todo número imaginario puede ser escrito como
un número real negativo se tiene que:
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:
Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
al conjunto de los números complejos
Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.
[9] Es decir, es correcto afirmar que
; esto se debe a que
Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración: Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero.
Por ejemplo es justo decir que
Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que
Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente errónea.
