Geometría inversiva
La inversión parece haber sido descubierta por varias personas contemporáneamente, entre las que figuran Steiner (1824); Quetelet (1825); Bellavitis (1836); Stubbs e Ingram (1842-3); y Kelvin (1845).
[1] Numerosos problemas planteados inicialmente en la geometría euclídea se pueden simplificar notablemente cuando se aplica una inversión, cuyo concepto puede ser generalizado a espacios de dimensiones superiores.
En el plano, la inversa de un punto P respecto de una circunferencia de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto P', situado sobre el rayo tendido desde O hasta P, tal que Esta operación se denomina inversión circular o inversión plana.
[2][3] Para hacer de la inversión una involución de todo el plano, es necesario introducir un punto del infinito, un único punto situado en todas las rectas, y extender la inversión por definición para intercambiar el centro O y este punto situado en el infinito.
Proporciona una solución exacta al importante problema de transformar un movimiento lineal en circular y viceversa.
Una circunferencia, es decir, la intersección de una esfera con un plano secante, se invierte en otra circunferencia, excepto que si pasa por O (entonces se invierte en una recta).
La imagen muestra una de esas líneas rectas (azul) y su inversión.
Esta aplicación se puede realizar mediante una inversión de la esfera en su plano tangente.
Las líneas que pasan por el centro de inversión (punto
[7] Edward Kasner escribió su tesis sobre la "Teoría invariante del grupo de inversión".
Estos planos de Möbius pueden describirse axiomáticamente y existen tanto en versiones finitas como infinitas.
En particular, si O es el centro de la inversión y
El invariante es: Según Coxeter,[9] la transformación por inversión respecto a una circunferencia fue inventada por L. I. Magnus en 1831.
Los otros generadores son la traslación y la rotación, ambos familiares a través de manipulaciones físicas en el espacio tridimensional.
Sin embargo, la geometría inversa es un estudio más amplio, ya que incluye transformaciones como la conjugación.
Ni la conjugación ni la inversión respecto a una circunferencia pertenecen al grupo de Möbius, ya que no son conformes (véase más abajo).
la circunferencia se transforma en la recta paralela al eje imaginario
En el método de números complejos, donde la reciprocidad es la operación implícita, este procedimiento conduce a la recta proyectiva compleja, a menudo denominada esfera de Riemann.
Además, Felix Klein quedó tan abrumado por esta facilidad de las asignaciones para identificar fenómenos geométricos que en 1872 publicó un manifiesto al respecto, el Programa de Erlangen.
que se encuentra invirtiendo la longitud del vector de desplazamiento
Cuando se utilizan dos hiperplanos paralelos para producir reflexiones sucesivas, el resultado es una traslación.
Cualquier combinación de reflexiones, traslaciones y rotaciones se denomina isometría.
Cualquier combinación de reflexiones, dilataciones, traslaciones y rotaciones es una semejanza.
Todas estas aplicaciones son transformaciones conformes y, de hecho, cuando el espacio tiene tres o más dimensiones, las asignaciones generadas por inversión son las únicas asignaciones conformes.
La adición de un punto del infinito al espacio obvia la distinción entre hiperplano e hiperesfera.
[11] La inversión respecto a una circunferencia es anticonforme, lo que significa que en cada punto conserva ángulos e invierte la orientación (una aplicación de este tipo se llama conforme si conserva la orientación de los ángulos).
Algebraicamente, una transformación es anticonforme si en cada punto el jacobiano es un escalar multiplicado por una matriz ortogonal con determinante negativo: en dos dimensiones el jacobiano debe ser un escalar multiplicado por una reflexión en cada punto.
La aplicación inversa analítica compleja es conforme, y su conjugado, la inversión respecto a una circunferencia, es anticonforme.
Por lo tanto, se debe considerar que las (n − 1)-esferas con ecuación son invariantes bajo inversión, ortogonales a la esfera unitaria y tienen centros fuera de la esfera.
También asigna el interior de la esfera unitaria a sí misma, con puntos fuera de la esfera ortogonal asignadas al interior, y viceversa.
